工程司法鉴定机构如果是双方共同协商选定，通常不会在网上公示。具体分析如下：

1. 选定方式的私密性：

   • 工程司法鉴定机构的选定，如果是通过双方共同协商的方式进行的，那么这一过程往往具有私密性。它更多地是基于双方的信任、专业判断以及实际需求来做出的选择，而不是一个需要公开透明的程序。

2. 公示的适用场景：

   • 公示通常用于需要广泛征求意见、接受社会监督或者确保公平公正的情况。例如，在招标投标、政府采购等公开竞争的场景中，公示是不可或缺的一环。然而，在双方协商选定司法鉴定机构的情况下，并没有这样的需求。

3. 法律法规的支撑：

   • 在相关法律法规中，并没有明确规定双方协商选定的司法鉴定机构需要进行网上公示。相反，更多的是强调了选定过程的合法性、公正性以及鉴定机构的资质要求等。

4. 实际操作中的惯例：

   • 在实际操作中，双方协商选定司法鉴定机构后，通常会以书面形式确认选定结果，并明确双方的权利义务。这一过程中，并不需要也不适宜将选定结果进行网上公示。

综上所述，工程司法鉴定机构如果是双方共同协商选定，通常不会在网上公示。这是因为选定过程具有私密性，且没有法律法规要求或实际操作惯例需要进行公示。如果你对此类问题有进一步的疑问或需要更详细的法律建议，请直接向我咨询。