检察院没有起诉，公安局不可以给予刑事处罚。下面我将从多个角度对此进行详细解释：

1. 不起诉决定的法律效力：

   • 检察院作出不起诉决定，意味着案件在刑事层面不构成犯罪或依法不应追究刑事责任。这一决定具有终止刑事诉讼程序的法律效力。
   • 一旦检察院作出不起诉决定，公安局就不能再就同一事实对犯罪嫌疑人进行刑事追究，包括刑事处罚。

2. 不起诉决定的类型：

   • 法定不起诉：案件情节显著轻微、危害不大，不认为是犯罪，或者存在其他法定不追究刑事责任的情形。
   • 酌定不起诉：犯罪情节轻微，依照刑法规定不需要判处刑罚或免除刑罚。
   • 证据不足不起诉：现有证据不足以证明犯罪嫌疑人犯罪事实清楚，证据确实、充分。

3. 公安局对不起诉决定的应对：

   • 公安局在收到检察院的不起诉决定书后，应立即释放被关押的相关人员，并终止对该案件的进一步调查和追责。
   • 若公安局认为不起诉决定有误，可以要求复议或向上级检察院申请复核，但这不影响不起诉决定的法律效力。

4. 行政处罚的可能性：

   • 虽然检察院作出不起诉决定，但如果犯罪嫌疑人的行为同时构成行政违法，且公安机关已掌握相关证据，并在追诉时效内，公安机关可以依据行政法律法规对犯罪嫌疑人进行行政处罚。
   • 行政处罚与刑事处罚属于不同的法律范畴，不起诉决定仅针对刑事层面，不影响行政层面的处理。

综上所述，检察院没有起诉的情况下，公安局不能给予刑事处罚。但如果犯罪嫌疑人的行为构成行政违法，公安机关在符合条件下可以对其进行行政处罚。如有进一步的法律问题，欢迎直接向我咨询。