当对方在交通事故中承担全部责任时，您主要可以向对方的保险公司提出赔偿要求。根据保险规定，全责方的保险公司有责任在保险限额内对受害者进行赔偿。这通常包括交强险在限额内赔偿医疗、伤残、财产损失等费用，超出部分则由商业三者险进行赔偿。

您有权直接向对方保险公司索赔，并需要提供事故责任认定书、损失证明材料等。保险公司会在核定后按照合同进行赔付。如果在赔偿过程中存在争议，您可以通过调解或诉讼来维护自己的权益。

至于您自己的保险公司，在对方全责的情况下，通常是不需要进行赔偿的。但是，如果您的车辆投保了交强险，交强险部分可能会在规定的责任限额内赔偿对方的人身伤亡和财产损失。此外，如果您购买了车损险等相关的商业险种，并且事故情况符合保险条款所规定的理赔情形，那么在对方保险公司完成赔付之后，您可以依据商业保险合同向自己的保险公司申请理赔。但这需要满足保险合同中所约定的各种条件。

总的来说，在对方全责的情况下，您主要应向对方及其保险公司提出赔偿要求。同时，您也可以根据自己的保险情况，考虑是否向自己的保险公司申请理赔。在处理赔偿事宜时，建议您保留好所有相关的证据和文件，以便在需要时提供证明。如果遇到任何困难或问题，您可以咨询专业的法律或保险顾问，以获取更详细的帮助和指导。