银行可以告知客户其账户被司法冻结。以下是对此问题的详细分析：

一. 法律依据

1. 《最高人民法院关于人民法院民事执行中查封、扣押、冻结财产的规定》：

   • 第一条明确规定了人民法院在查封、扣押、冻结被执行人的动产、不动产及其他财产权时，应当作出裁定，并送达被执行人和申请执行人。这意味着法院在冻结银行账户等财产时，有义务向相关当事人送达冻结裁定。

2. 《中华人民共和国民事诉讼法》：

   • 相关条款规定了法院在采取财产保全措施时，应当保障当事人的知情权。因此，告知客户其账户被司法冻结是符合法律规定的。

二. 通知方式及内容

1. 通知方式：

   • 法院会通过向当事人发送法律文书的形式，告知其银行账户被冻结的情况。这些法律文书通常会详细说明冻结的原因、期限以及解冻的条件等信息。

2. 通知内容：

   • 银行在接到司法机关的冻结通知后，会按照法律文书的要求执行冻结，并可以在客户查询时告知相关信息，包括冻结状态、冻结原因、冻结期限以及是否有可能延长或解除冻结等。

三. 客户权益与保护措施

1. 客户权益：

   • 当事人在收到冻结通知后，有权向法院了解冻结的具体情况，并根据实际情况采取相应的法律措施。例如，如果当事人认为冻结行为存在错误或不当之处，可以向法院提出异议或申请解冻。

2. 保护措施：

   • 银行在告知客户冻结信息时，应注意保护客户的隐私和安全，避免泄露客户的个人信息和账户详情。同时，银行也应遵循法律程序，确保操作的合法性和有效性。

四. 特殊情况

• 在某些特殊情况下，如持卡人涉嫌犯罪（如网络赌博、网络洗钱等），公安机关可能不会提前通知持卡人，因为涉及到刑事侦查和防止不良社会影响的需要。但即便如此，一旦冻结措施实施完毕，相关当事人仍会通过法定程序得知其账户被冻结的情况。

综上所述，银行在接到司法机关的冻结通知后，是可以且应该告知客户其账户被司法冻结的相关情况的。这不仅符合法律规定，也有助于维护法律程序的透明性和公正性，同时保障客户的合法权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。