《刑事诉讼法》中关于申请检察院监督的规定主要涉及对法院生效裁判的监督。具体规定及解析如下：

一. 监督主体与对象

• 监督主体：最高人民检察院及各级人民检察院。
• 监督对象：各级人民法院已经发生法律效力的判决和裁定。

二. 监督情形

• 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百五十四条，最高人民检察院对各级人民法院已经发生法律效力的判决和裁定，如果发现确有错误，有权按照审判监督程序向同级人民法院提出抗诉。
• 监督情形包括但不限于：原判决、裁定认定事实错误、适用法律错误、审判程序违法，以及审判人员存在贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判等行为。

三. 监督程序

• 当事人及其法定代理人、近亲属如认为法院生效裁判存在错误，可向人民检察院提出申诉。
• 人民检察院在收到申诉后，将进行审查。如发现确有错误，将按照审判监督程序提出抗诉。
• 接受抗诉的人民法院应当组成合议庭重新审理，对于原判决事实不清楚或者证据不足的，可以指令下级人民法院再审。

四. 实际案例

• 例如，某案件当事人认为法院生效裁判存在认定事实错误，遂向人民检察院提出申诉。人民检察院经审查认为申诉有理，遂按照审判监督程序向同级人民法院提出抗诉。最终，接受抗诉的人民法院重新审理了该案，并作出了公正的裁判。

我建议：在申请检察院监督时，当事人应提供充分的证据材料以支持其申诉请求，并严格按照法律规定的程序进行申请。如有进一步需要，您可以继续咨询我。