在解除劳动关系时，公司是否有权解除以及是否需要支付经济补偿金，这主要取决于劳动合同解除的具体原因和责任归属。以下是对此问题的详细分析：
结论前置
- 公司有权解除劳动关系的情形：公司确实在某些情况下有权解除与员工的劳动关系，这包括但不限于员工严重违反公司规章制度、不能胜任工作、或者双方协商一致等。
- 经济补偿金的支付：公司是否需要支付经济补偿金，取决于解除劳动关系的具体原因。如果是因为公司的过错或合法但非员工过错导致合同解除，公司通常需要支付经济补偿金；如果是员工自身过错或主动提出且非公司过错，则公司通常无需支付经济补偿金。
有权解除且需支付经济补偿金的情形
协商一致解除（公司提出）：
- 如果公司与员工协商一致解除劳动合同，且是由公司提出的，那么公司需要支付经济补偿金。
员工被迫解除：
- 如果公司存在未提供劳动保护、未及时足额支付劳动报酬、未依法缴纳社会保险费等过错行为，员工可以解除劳动合同，并要求公司支付经济补偿金。
公司非过失性辞退：
- 如果员工患病、不能胜任工作，或者劳动合同订立时的客观情况发生重大变化导致合同无法履行，且经协商未能就变更合同内容达成协议，公司提前通知或额外支付一个月工资后解除劳动合同，需要支付经济补偿金。
公司经济性裁员：
- 如果公司因企业破产法规定进行重整、生产经营发生严重困难等原因进行经济性裁员，也需要支付经济补偿金。
有权解除但无需支付经济补偿金的情形
员工主动提出且协商一致解除：
- 如果员工主动向公司提出解除劳动合同，并与公司协商一致，公司通常无需支付经济补偿金。
员工过失性辞退：
- 如果员工存在严重违纪、失职、营私舞弊等行为，给公司造成重大损害，或者同时与其他用人单位建立劳动关系对完成本单位工作任务造成严重影响且拒不改正，公司可以解除劳动合同，无需支付经济补偿金。
经济补偿金的计算标准
- 工作年限：每满1年支付1个月工资；6个月以上不满1年按1年计算；不满6个月支付0.5个月工资。
- 月工资标准：指员工在劳动合同解除或终止前12个月的平均工资，包括奖金、津贴等。如果月工资高于当地职工平均工资3倍，补偿标准按3倍封顶，且补偿年限不超过12年。
建议
在面临解除劳动关系的情况时，员工应首先了解自己的权益和法律规定。如果认为公司应支付补偿金而未支付，可以通过协商、投诉、仲裁或诉讼等途径来维护自己的合法权益。同时，公司也应遵守相关法律法规，确保在解除劳动关系时依法行事。
综上所述，公司是否有权解除劳动关系以及是否需要支付经济补偿金，需根据具体的解除原因、责任归属以及相关法律法规进行综合判断。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。