首先，我们明确一下问题的核心：母亲生病期间，儿子和女儿分别承担了不同的费用，现在儿子要求平均分担这些费用。

关于这个问题，我们可以从以下几个角度进行分析：

1. 法律上没有明确规定必须平均分担：

   • 在法律上，并没有明确规定家庭成员之间必须平均分担生病期间的费用。这更多是基于家庭内部的协商和约定。

2. 考虑实际付出与公平原则：

   • 既然儿子拿了住院的钱，而女儿承担了保养品之类的费用，那么可以认为他们已经在某种程度上进行了分担。是否平均分担，应基于他们各自的经济能力、实际付出以及家庭内部的协商。
   • 如果儿子的经济能力明显优于女儿，或者女儿在照顾母亲上付出了更多的时间和精力，那么要求平均分担可能并不公平。

3. 建议家庭内部协商：

   • 鉴于这是一个家庭内部的问题，我建议你们首先进行协商，考虑各自的实际情况和付出，然后达成一个双方都能接受的方案。
   • 如果协商不成，可以考虑寻求家族长辈或者社区调解机构的帮助，以便更好地解决问题。

4. 特殊情况下的法律建议：

   • 如果母亲没有留下遗嘱或者相关的财产分配协议，且儿子和女儿因为费用分担问题产生了严重的纠纷，那么可以考虑通过法律途径来解决。但请注意，这通常是一个比较耗时和耗力的过程。

综上所述，儿子要求平均分担母亲生病期间的费用并没有明确的法律依据，更多是基于家庭内部的协商和约定。我建议你们首先进行协商，考虑各自的实际情况和付出，然后达成一个双方都能接受的方案。如果有任何法律上的问题或者需要进一步的帮助，请随时向我咨询。