即使不签劳动合同且部门解散了，劳动者仍然可以申请劳动仲裁。以下是对此问题的详细分析：

一、明确结论

根据《劳动合同法》和《劳动争议调解仲裁法》的相关规定，即使未签订书面劳动合同，且用人单位的部门已经解散，劳动者仍然有权申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。

二、法律依据

1. 《劳动合同法》规定：用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。若未在规定时间内订立书面劳动合同，用人单位需向劳动者支付二倍的工资。同时，若用人单位违反法律规定解除或终止劳动合同，也需向劳动者支付赔偿金。
2. 《劳动争议调解仲裁法》保障：该法为劳动者提供了在劳资关系争议中的诉讼权利，包括因未订立书面劳动合同而引发的争议，劳动者可以通过劳动仲裁来维护自己的权益。

三、可主张的权益

1. 双倍工资差额：若用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，劳动者有权主张双倍工资差额。
2. 经济补偿：若因用人单位未签订劳动合同或其他违法行为导致劳动者辞职，或者用人单位部门解散导致劳动合同无法继续履行，劳动者有权按工作年限要求经济补偿。

四、申请劳动仲裁的要点

1. 证明事实劳动关系：劳动者需要收集并整理能证明与用人单位之间存在事实劳动关系的证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、社保缴纳记录等。
2. 确定仲裁时效：劳动者申请劳动仲裁的时效期间为一年，自知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，劳动者应及时行使自己的权利。
3. 提交仲裁申请：向当地劳动争议仲裁委员会提交书面仲裁申请，并附上相关证据材料。在申请中明确仲裁请求和理由，以及所依据的法律条款。

五、建议与操作指南

1. 协商先行：在申请劳动仲裁前，建议劳动者先与用人单位进行友好协商，尝试解决争议。
2. 准备充分：若协商无果，劳动者应确保收集到的证据材料真实、完整，以便在仲裁过程中有力证明自己的主张。
3. 积极配合：在仲裁过程中，劳动者应积极配合仲裁机构的调查工作，提供必要的协助和说明。

综上所述，即使不签劳动合同且部门解散了，劳动者仍然有权申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。在申请仲裁时，劳动者应确保证据充分、请求明确，并积极配合仲裁机构的调查工作。