结论前置：在面对他人持刀威胁时，你将其杀死是否构成正当防卫，需根据具体情况进行综合判断。若你的防卫行为严格符合正当防卫的构成要件，且未超过必要限度，则可认定为正当防卫；反之，则可能构成防卫过当或故意杀人罪。

正当防卫的认定：

正当防卫是指在受到不法侵害时，为了防止自己或他人的合法权益受到进一步侵害而采取的制止不法侵害的行为。根据《中华人民共和国刑法》第二十条的规定，正当防卫必须满足以下条件：

1. 存在不法侵害：必须有实际的不法侵害行为发生，且该侵害行为正在持续进行中。
2. 防卫行为的必要性：防卫行为必须是为了保护自己或他人的合法权益免受正在进行的不法侵害所必需。
3. 防卫行为的合理性：防卫行为在手段、强度上应当与不法侵害相适应，不得明显超过必要限度。
4. 防卫行为的合法性：防卫行为必须符合法律规定，不得违反法律原则或精神。

在你的情况中，如果对方持刀对你进行攻击，且该攻击行为正在持续，你出于保护自己的人身安全而采取防卫行为，若该行为在手段、强度上未明显超过必要限度，则有可能构成正当防卫。

防卫过当与故意杀人罪的界定：

1. 防卫过当：如果防卫行为明显超过必要限度，造成重大损害，则属于防卫过当。例如，当对方已经中止攻击、放下刀具或失去继续实施侵害的能力时，若你仍继续实施防卫行为并导致对方死亡，则可能构成防卫过当。防卫过当应当负刑事责任，但应当减轻或者免除处罚。
2. 故意杀人罪：如果对方只是拿刀威胁，并没有实际实施伤害行为，而你直接将其杀死，这很可能超出了正当防卫的范畴，构成了故意杀人罪。故意杀人罪是指故意非法剥夺他人生命的行为，其刑罚通常较为严厉。

具体判定：

在实际案件中，判断你的行为是否构成正当防卫，需要综合考虑当时的具体情况，包括不法侵害的性质、强度、使用的手段，以及你采取行动的紧迫性、合理性等因素。司法机关会依据相关的证据以及法律规定来进行认定。

法律建议：

面对此类情况，建议你：

1. 保持冷静，尽量避免冲突升级，保护自己的同时寻求法律帮助。
2. 及时报警，第一时间向公安机关报案，并配合警方的调查工作。
3. 如有需要，可直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供进一步的法律分析和建议。

总之，正当防卫的判定是一个复杂而细致的过程，需要综合考虑多种因素。在面对类似情况时，务必保持冷静，依法行事，并寻求专业的法律帮助。