当您在超市购物时发现所赠送的赠品是过期的，您完全有权要求超市进行赔偿。以下是我为您详细整理的赔偿流程及相关法律依据：

赔偿流程

1. 保留证据：

   • 请务必保留好过期的赠品实物。
   • 同时，保留购物凭证，如小票、发票或购物记录，这些都是后续维权的重要证据。

2. 与超市协商：

   • 携带上述证据前往超市的服务台或客服部门。
   • 向工作人员说明情况，并要求超市退还过期赠品及支付相应的赔偿金。

3. 投诉举报：

   • 如果超市拒绝赔偿或处理不当，您可以向当地的工商管理部门或消费者协会进行投诉举报。
   • 这些部门会介入调查，并协助您处理此事。

4. 法律途径：

   • 在必要时，您还可以选择通过法律途径来维护自己的合法权益。
   • 可以咨询专业律师，了解具体的法律程序和诉讼方式，如向法院提起诉讼。

赔偿依据

• 《中华人民共和国消费者权益保护法》：该法规定，无论是正常销售的产品还是赠品，都应符合安全标准，不得损害消费者的合法权益。如果经营者提供商品有欺诈行为，还应按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失。

• 《中华人民共和国食品安全法》：

  • 根据该法，生产或销售不符合食品安全标准的食品（包括赠品），消费者除要求赔偿损失外，还可以向生产者或销售者要求支付价款10倍的赔偿金。
  • 同时，该法还规定了对于违法生产经营的食品的罚款标准，确保商家的行为受到法律的约束。

注意事项

• 在整个维权过程中，请保持冷静和理性，避免与超市工作人员发生不必要的争执。
• 如果赠品过期导致了您的人身损害，您还有权以侵权责任提起诉讼，法院可能会根据实际情况支持精神损害赔偿。

综上所述，当您发现超市赠送的赠品是过期的时，您完全有权要求超市进行赔偿。请按照上述流程操作，并保留好相关证据，以确保您的合法权益得到妥善维护。