若在超市领取的赠品过期，您有权要求超市进行赔偿，具体赔偿方式需根据实际情况确定。以下是详细分析：

1. 超市的责任
   根据《消费者权益保护法》及《食品安全法》，超市作为经营者，对所提供的商品（包括赠品）负有质量保证义务。即使商品是赠品，超市仍需确保其符合安全标准，不得提供过期或变质商品。若因赠品过期导致您人身或财产损害，超市需承担赔偿责任。

2. 赔偿方式

   • 未造成损害：若您仅发现赠品过期但未食用或使用，可要求超市更换合格商品、退货或给予适当补偿（如小额现金券、礼品卡等）。
     
   • 造成损害：若因食用过期赠品导致健康问题（如食物中毒），您可要求超市赔偿医疗费、误工费、交通费等实际损失。若损害严重，还可主张精神损害抚慰金。
     
   • 惩罚性赔偿：若超市明知赠品过期仍故意提供，您可依据《食品安全法》第148条主张“价款十倍或损失三倍”的惩罚性赔偿（最低1000元）。但需注意，赠品通常无“价款”，实践中可能以商品正常售价为基数计算。

3. 维权步骤

   • 保留证据：立即拍照或录像记录过期赠品、购物小票、与超市沟通的记录等。
     
   • 协商解决：向超市客服或管理层反映问题，要求书面赔偿方案。
     
   • 投诉举报：若协商无果，可向当地市场监管部门（12315）或消费者协会投诉。
     
   • 法律途径：必要时可向法院起诉，主张民事赔偿。

建议：先与超市友好沟通，明确要求赔偿范围（如医疗费、补偿金等）。若超市推诿，可强调其法律义务，并出示证据。如需进一步帮助，可直接向我咨询具体操作流程或证据准备细节。