当事业单位职工不幸死亡后，单位需要妥善处理一系列相关事宜，以确保家属的合法权益得到保障，并妥善处理劳动关系。以下是一个详细的处理流程：
一、及时通知近亲属
单位在得知职工死亡的消息后，应第一时间通知其近亲属，确保他们能够及时了解到情况，并参与到后续的处理中来。
二、进行工伤认定
因工死亡：若职工因工死亡，单位应在事故发生之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。若单位未在规定时限内提出，其近亲属、工会组织可在1年内提出申请。认定为工伤后，单位需按《工伤保险条例》支付工亡待遇，包括丧葬补助金（6个月统筹地区上年度职工月平均工资）、供养亲属抚恤金（按职工本人工资一定比例发给由因工死亡职工生前提供主要生活来源、无劳动能力的亲属）以及一次性工亡补助金（上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍）。
非因工死亡：若职工非因工死亡，单位也需按照当地规定支付相应的丧葬补助费等，并协助家属办理相关手续。
三、处理基本养老保险相关待遇
对于参加基本养老保险的职工，其遗属可以领取丧葬补助金和抚恤金。丧葬补助金的标准一般是当地上年度职工月平均工资的固定月数，而抚恤金则会依据亲属的具体情况按规定发放。
四、协助家属办理手续
单位还需积极协助家属办理相关手续，如出具死亡证明、处理劳动关系注销等，确保后续事宜的顺利进行。这包括提供必要的文件、资料以及给予必要的指导和帮助。
五、妥善处理劳动关系
在处理完上述事宜后，单位还需与家属协商妥善处理劳动关系，包括劳动合同的终止、工资结算、社会保险关系转移等。
综上所述，事业单位职工死亡后，单位需要按照上述流程妥善处理相关事宜，以确保家属的合法权益得到保障，并维护单位的正常运营秩序。在处理过程中，单位应秉持公正、公平、公开的原则，积极与家属沟通协商，共同处理好这一敏感而重要的问题。