如果儿子欠债后父亲去世，且父亲留有遗嘱，那么法院可能会根据遗嘱的内容，将父亲遗产中应由儿子继承的部分用于偿还儿子的债务。具体分析如下：
一. 遗嘱继承与债务偿还的关系
遗嘱继承的效力：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗嘱继承是遗产继承的一种方式，其效力优先于法定继承。如果父亲去世前留有合法有效的遗嘱，并且遗嘱中指定了儿子为继承人，那么儿子有权按照遗嘱的内容继承父亲的遗产。
债务偿还的义务：虽然儿子继承了父亲的遗产，但如果他同时也欠有债务，那么根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条的规定，他需要以继承遗产的实际价值为限来清偿自己的债务。这意味着，如果儿子继承的遗产价值足够偿还他的债务，那么他应该用这部分遗产来还债。
法院的执行：如果儿子未能主动偿还债务，债权人可以向法院提起诉讼。在判决生效后，如果儿子仍未履行还款义务，法院有权根据债权人的申请，对儿子继承的遗产进行强制执行，以偿还债务。
二. 特殊情况的处理
如果父亲留下的遗嘱中明确规定了遗产的用途，例如用于特定目的或捐赠给特定机构，并且这部分遗产与儿子的债务无关，那么法院在执行时可能会考虑这一因素，不会将这部分遗产用于偿还儿子的债务。
如果儿子继承的遗产价值不足以偿还他的全部债务，那么他需要以其他个人财产来补充偿还。如果儿子没有其他财产或财产不足以偿还债务，那么债权人可能无法完全追回欠款。
综上所述，如果儿子欠债后父亲去世，且父亲留有遗嘱将遗产继承给儿子，那么法院可能会根据遗嘱的内容和执行程序，将儿子继承的遗产用于偿还他的债务。但具体执行情况还需根据案件的具体情况和法院的判决来确定。如有进一步需要，您可以继续咨询我。