当您遇到购买商品后厂家不给开发票的情况时，可以采取以下步骤来维护自己的合法权益：
一、明确商家法定义务与您的权利
根据《中华人民共和国消费者权益保护法》和《中华人民共和国发票管理办法》，商家在销售商品时，必须向消费者出具发票。这是商家的法定义务，也是您作为消费者的基本权利。因此，您可以明确要求商家开具发票，并指出这是法律法规的规定。
二、与商家沟通协商
首先，建议您尝试与商家进行友好沟通，说明您索取发票的合理性和必要性。有时候，商家可能因疏忽或其他原因未能及时开具发票，通过沟通往往能够迅速解决问题。您可以向商家阐述发票对于您的重要性，比如用于报销、保修或者作为购物凭证等。
三、向相关部门投诉举报
如果沟通无果，您可以向以下部门投诉举报：
税务机关：拨打12366纳税服务热线或前往当地税务机关进行书面投诉。税务机关将依法对商家进行调查，并要求其限期改正，同时可能会对商家的违规行为进行处罚。
工商行政管理部门：作为市场监管的政府部门，工商行政管理部门也负责处理商家在销售过程中的违法行为。您可以向当地的工商行政管理部门进行投诉，以促使商家纠正其行为。
商家主管部门：如果您是在特定的购物场所（如商场、超市）购买的商品，可以向该场所的管理办公室反映情况。他们通常会为维护自身信誉和管理秩序而督促商家开具发票。
四、寻求消费者权益保护组织的帮助
如果投诉举报后问题仍未解决，您可以向消费者协会等权益保护组织寻求帮助。这些组织通常提供咨询、调解等服务，帮助您解决与商家之间的纠纷。
五、法律途径
在极端情况下，如果商家仍然拒绝开具发票，并且您认为自身权益受到严重侵害，可以考虑寻求法律援助。咨询当地律师，了解相关法律问题，并根据律师的建议采取相应的法律行动，如提起诉讼等。但请注意，这一步应谨慎考虑，通常在其他途径无法解决问题时才采取。
六、保留相关证据
在整个维权过程中，务必保留好所有相关的购物凭证。这些证据包括订单信息、付款记录（如微信、支付宝或银行卡支付截图等）、收据、小票以及商家的相关信息等。这些证据将在您维权时起到至关重要的作用，有助于证明您的购买行为和商家的违规行为。
综上所述，当您遇到厂家不给开发票的情况时，应首先明确自己的权利和商家的义务，尝试与商家沟通协商。如果沟通无果，可以向相关部门投诉举报或寻求消费者权益保护组织的帮助。在必要时，还可以考虑采取法律途径来维护自己的合法权益。同时，务必保留好所有相关的购物凭证作为证据。