当然可以。没签劳动合同被老板开除，劳动者完全有权向劳动局（通常指人力资源和社会保障局或其下属的劳动监察部门）投诉，或者通过申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。

法律依据

根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定明确保护了劳动者的权益，即使未签订书面劳动合同，劳动者的工作关系和权益依然受到法律认可和保护。

维权途径与流程

1. 准备证据：

   • 收集能证明劳动关系存在的证据，如工资支付记录（银行转账明细）、工作证、考勤记录、工装、工作邮件、同事证言等。
   • 这些证据将用于证明你与用人单位之间的实际劳动关系，以及你的工作时长和薪酬情况。

2. 向劳动监察部门投诉：

   • 携带个人身份证件和准备好的证据材料，前往当地劳动监察部门提交投诉。
   • 填写投诉表格，详细说明投诉事项，并提交相关证据。
   • 劳动监察部门将展开调查，并根据调查结果责令用人单位改正违法行为，或支付相应的赔偿。

3. 申请劳动仲裁：

   • 若劳动监察部门的处理未能满足你的诉求，或你选择直接仲裁，可向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请书。
   • 仲裁申请书应详细写明双方信息、仲裁请求（如要求支付未签合同的双倍工资差额、违法辞退的赔偿金等）、事实和理由，并附上相关证据。
   • 仲裁委员会将受理你的申请，并安排开庭审理。双方将在庭上进行陈述、举证、质证和辩论。
   • 仲裁委员会作出裁决后，若你胜诉，用人单位需按裁决结果支付相应款项。对仲裁结果不服的，你可在规定时间内向人民法院提起诉讼。

注意事项

• 时效问题：劳动者应注意仲裁时效，一般为一年，自知道或应当知道权利被侵害之日起计算。
• 专业帮助：在维权过程中，可考虑寻求专业律师的帮助，以提高维权的效率和成功率。

综上所述，没签劳动合同被老板开除，劳动者完全有权向劳动局投诉或申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。在维权过程中，请务必保留好相关证据，并遵循正确的维权途径和流程。