当您在本地立案后发现嫌疑人在异地违法时，司法机关有多种方式可以处理这种情况，以确保案件的依法推进和嫌疑人的抓捕归案。以下是对此问题的详细解答：
一、司法机关的处理方式
协查通报与通缉令：
- 司法机关会借助全国公安信息网络系统发布协查通报，请求外地公安机关协助查找和控制嫌疑人。
- 对于应逮捕的嫌疑人，司法机关会发布通缉令进行追捕，通过全国范围内的公安系统协同作战，提高抓捕效率。
技术侦查手段：
- 公安机关还可以运用监听、定位等技术侦查手段来确定嫌疑人的具体位置，进而实施抓捕行动。这些技术手段在现代化侦查中发挥着重要作用，有助于快速锁定嫌疑人。
非羁押措施：
- 如果嫌疑人犯罪情节较轻且符合条件，司法机关可以采取取保候审、监视居住等非羁押措施。这些措施既能保障案件的依法推进，又能避免对嫌疑人造成不必要的羁押。
二、抓捕流程
制作抓捕报告书与证件：
- 立案地公安机关会制作《呈请抓捕报告书》，并经县级以上公安机关负责人批准后，签发《拘留证》或《逮捕证》。
执行抓捕：
- 立案地公安机关可以直接到外地执行抓捕，执行时应通知当地公安机关，当地公安机关会予以配合。
- 也可以通过公安机关内部的协作机制，将相关法律文书及嫌疑人信息等移交给嫌疑人所在地公安机关，委托其代为抓捕。
交接手续：
- 嫌疑人到案后，立案地公安机关应及时办理交接手续，将嫌疑人押解回本地处理。整个过程需严格依照《刑事诉讼法》等相关法律规定进行，确保抓捕行动的合法合规。
三、后续事宜
- 案件进展与赔偿问题：在嫌疑人到案前，受害者可能关心案件后续的进展和赔偿问题。司法机关会依法推进案件进程，并在嫌疑人到案后进行进一步的审理和判决。
- 民事赔偿申请与执行：如果嫌疑人最终到案并被判决承担民事赔偿责任，受害者可以通过法律途径申请民事赔偿，并按照判决结果执行赔偿。
综上所述，当您在本地立案后发现嫌疑人在异地违法时，司法机关会采取多种方式和手段来确保案件的依法推进和嫌疑人的抓捕归案。同时，受害者也可以关注案件的后续进展和赔偿问题，依法维护自己的合法权益。