银行员工不能私自保存企业公章。

首先，从公司法的角度来看，企业公章是公司的重要财产和权力象征，其使用和管理应当遵循公司的内部规章制度以及相关法律法规。银行员工作为公司的职员，应当遵守公司的公章管理制度，不得私自保存或擅自使用企业公章。

其次，从法律责任的角度来看，如果银行员工私自保存企业公章并擅自使用，可能会构成违法或犯罪行为。例如，如果员工利用公章进行诈骗、伪造文件等违法行为，将可能面临法律责任。此外，即使员工没有直接参与违法行为，但私自保存公章本身也可能被视为违反公司规定和职业操守，可能会受到公司内部纪律处分。

最后，从公司管理和风险控制的角度来看，企业应当建立严格的公章管理制度，明确公章的保管、使用和审批流程。银行员工应当遵循这些制度，确保公章的安全和合规使用。如果员工发现公章管理制度存在问题或漏洞，应当及时向公司管理层反映，并协助公司完善相关制度。

综上所述，银行员工不能私自保存企业公章，这是违反公司规定和法律法规的行为。员工应当遵守公司的公章管理制度，确保公章的安全和合规使用。如果员工有任何关于公章管理的问题或疑虑，应当及时向公司管理层咨询或寻求法律帮助。