公司有权利要求员工出示出差期间的住宿支付费用记录。这一要求主要基于以下几个方面的法律依据和内部管理需要：

一. 差旅费报销的基本要求

根据差旅费报销的常规做法，员工在报销时通常需要提供相关的付款记录作为凭证，以证明费用的真实性和合理性。这些付款记录可以包括交通票据、住宿发票、餐饮发票等。因此，公司要求员工出示出差期间的住宿支付费用记录，是符合差旅费报销的基本要求的。

二. 法律依据

1. 《中华人民共和国发票管理办法》第十九条规定，购买商品、接受服务以及从事其他经营活动支付款项时，应当向收款方取得发票。这意味着在报销差旅费时，员工有义务提供相关的发票和付款记录。

2. 《中华人民共和国发票管理办法》第二十条进一步规定，不符合规定的发票不得作为财务报销凭证。因此，公司要求员工出示合规的住宿支付费用记录，是确保报销合规性的必要措施。

三. 公司内部管理需要

除了法律规定外，公司要求员工出示住宿支付费用记录也是出于内部管理的需要。通过查看这些记录，公司可以更好地掌握员工的差旅费用情况，进行合理的预算和控制。同时，这也有助于公司发现可能存在的问题和风险，及时进行纠正和处理。

四. 隐私权与个人信息保护

虽然员工的消费记录属于个人隐私范畴，受法律保护，但在报销差旅费的特定情境下，员工提供的住宿支付费用记录并不涉及个人隐私的侵犯。这是因为这些记录属于与工作相关的财务信息，公司有权进行核实和管理。当然，公司在处理这些信息时，应确保数据的安全、保密和合法使用。

综上所述，公司有权利要求员工出示出差期间的住宿支付费用记录。这一要求既符合法律规定，也是公司内部管理的需要。员工应配合公司的要求，提供必要的付款记录以支持报销申请。如有进一步需要，您可以继续咨询我。