关于“劳动合同到期公司要求延长原有合同期限”的问题，首先明确一点：劳动合同到期后，一般不能直接延长原合同的有效期。但存在一些法定顺延的情形，在这些情形下，劳动合同应当续延至相应的情形消失时终止。以下是对此问题的详细解答：
一、法定顺延情形
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满时，若劳动者存在以下任一情形，劳动合同应自动续延：
- 从事接触职业病危害作业的劳动者未进行离岗前职业健康检查，或疑似职业病病人在诊断或医学观察期间；
- 在本单位患职业病或因工负伤并被确认丧失或部分丧失劳动能力；
- 患病或非因工负伤，在规定的医疗期内；
- 女职工在孕期、产期、哺乳期；
- 在本单位连续工作满十五年，且距法定退休年龄不足五年。
若劳动者符合上述任一情形，劳动合同将自动续延，用人单位无需也不得重新签订新的劳动合同。
二、重新签订劳动合同
若不存在上述法定顺延情形，而用人单位希望继续与劳动者保持劳动关系，双方应重新协商并签订新的劳动合同。在签订新合同时，应遵循以下原则：
- 双方协商一致：就工作岗位、薪资待遇、工作时间等合同条款进行充分沟通，并达成一致意见。
- 签订书面合同：确保新劳动合同以书面形式签订，明确双方的权利和义务。
- 遵守法律法规：新劳动合同的签订和履行必须严格遵守国家相关法律法规的规定。
三、注意事项
- 提前通知：劳动合同到期前，用人单位或劳动者应提前通知对方是否续签劳动合同的意愿，以便双方做好相应准备。
- 合同内容明确：新签订的劳动合同应详细列明工作内容、劳动报酬、工作时间、休息休假等条款，确保双方权益清晰明了。
- 避免纠纷：在签订和履行劳动合同时，双方应秉持诚信原则，确保合同的合法性和有效性，避免因违反法律法规或合同条款而引发纠纷。
综上所述，劳动合同到期后的处理方式需根据是否存在法定顺延情形来确定。若存在法定顺延情形，劳动合同将自动续延；若不存在，双方应重新签订新的劳动合同以明确各自的权利和义务。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。