刑拘取保的最佳时间通常是在刑拘执行后的第37自然日以内。以下是详细分析：

一. 为何37自然日以内是最佳时间

1. 证据收集阶段：在刑拘执行后的37天内，调查机构会积极收集各类证据，以判断是否具备充足的证据对犯罪嫌疑人进行逮捕。若此期间证据尚未充分，或存在可以申请取保候审的特殊情况，提出取保候审申请获批的概率较大。
2. 法定特殊情况：如犯罪嫌疑人可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑，或患有严重疾病、生活不能自理等，这些情况在37天内提出取保候审申请，更有可能获得批准。

二. 取保候审的法定条件 依据《中华人民共和国刑事诉讼法》，刑拘后申请取保候审需满足以下条件：

1. 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑。
2. 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性。
3. 患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性。
4. 羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审。

三. 申请取保候审的注意事项

• 申请取保候审一般应当采用书面形式，向办案机关提交取保候审申请书，并说明申请取保候审的理由和拟采取的保证方式。
• 办案机关在收到申请后，会根据案件具体情况进行审查，决定是否同意取保候审。
• 同意取保候审的，会责令犯罪嫌疑人提出保证人或者交纳保证金。

我建议，在遭遇刑事拘留后，应尽早咨询专业律师，评估案件情况，并准备相应的申请材料，以在最佳时间内提出取保候审申请。如有进一步需要，您可以继续咨询我。