当用人单位未给员工续签劳动合同并辞退员工时，员工可以采取一系列步骤来维护自己的合法权益。以下是根据相关法律法规为您提供的详细建议：

一、明确法律情形及权益

1. 未续签但继续工作的情况：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，如果劳动合同到期后，公司未及时与员工续签，但员工仍在公司工作，那么从原合同到期后的次月起，员工有权要求公司支付双倍工资。

2. 劳动合同终止的经济补偿：

   • 劳动合同期满终止时，除非是公司维持或提高劳动合同约定条件续订而员工不同意的情况，否则公司需要按员工在本单位工作的年限支付经济补偿。具体标准为：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。

3. 辞退合法性判断：

   • 公司辞退员工必须有合法理由，如员工严重违反公司规定或不能胜任工作等。如果公司无正当理由辞退员工，则构成违法解除劳动合同，需要支付赔偿金，赔偿金为经济补偿标准的二倍。

二、收集证据

为了维护自己的权益，员工应尽可能收集以下证据：

• 证明劳动关系的证据，如原劳动合同、工资支付记录、工作证、考勤记录等。
• 辞退证据，如公司出具的辞退通知、电子邮件、聊天记录等。

三、与公司协商解决

在采取法律行动之前，员工可以尝试与公司进行协商，说明法律规定，并要求公司支付相应的补偿。协商过程中，应保留好相关的聊天记录或通话录音，以备后续需要。

四、寻求第三方调解或申请劳动仲裁

如果协商无果，员工可以向企业劳动争议调解委员会或依法设立的基层人民调解组织申请调解。调解不成时，可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交仲裁申请书及相关证据，并按照通知参加庭审。

五、提起诉讼

如果员工对仲裁结果不满意，可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。

六、关注社保问题

在处理劳动争议的过程中，员工还应关注自己的社保关系是否得到妥善处理。如果公司未为员工办理社保关系转移手续，员工可以要求公司协助办理或向相关部门投诉。

七、咨询专业律师

在处理此类复杂问题时，咨询专业律师是一个明智的选择。律师可以为员工提供更具体的法律建议和指导，帮助员工更好地维护自己的权益。

综上所述，面对公司未续签劳动合同并辞退员工的情况，员工应了解自己的法律权益，并采取适当的措施来维护自己的合法权益。在整个过程中，保持冷静、理性，并依法行事是至关重要的。