被拘留后取保的最佳时间是在拘留后的3日至37日内。具体分析如下：

一. 取保候审的适用时机

• 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，取保候审是在犯罪嫌疑人被拘留后，至案件尚未办结前，符合一定条件时可以申请的一种强制措施。
• 公安机关对被拘留的人，若认为需要逮捕，应在拘留后的3日以内提请人民检察院审查批准。特殊情况下可延长1日至4日，对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可延长至30日。因此，从被拘留到检察院作出是否批准逮捕的决定，这段时间通常为3日至37日。

二. 取保候审的最佳时机判断

• 在这段3日至37日的时间内，若犯罪嫌疑人符合取保候审的条件，如可能判处管制、拘役或独立适用附加刑，或可能判处有期徒刑以上刑罚但采取取保候审不致发生社会危险性等，那么这段时间就是申请取保候审的最佳时机。
• 因为一旦检察院批准逮捕，犯罪嫌疑人将被继续羁押，此时再申请取保候审的难度和复杂度都会增加。

三. 取保候审的申请与执行

• 取保候审由犯罪嫌疑人、被告人或其法定代理人、近亲属、辩护人向公安机关提出申请。
• 公安机关在收到申请后，会进行审查，若符合取保候审的条件，将依法执行取保候审。

综上所述，被拘留后取保的最佳时间是在拘留后的3日至37日内，这段时间内应尽快评估是否符合取保候审的条件，并准备相关材料向公安机关提出申请。如有进一步需要，您可以继续咨询我。