当员工申请仲裁，而公司希望提出调解时，可以按照以下步骤来妥善处理：
一、初步响应
签收文书：
- 公司在收到仲裁通知及相关文书后，应立即仔细查看，明确员工的诉求、仲裁依据、开庭时间及地点等关键信息。
初步沟通：
- 主动与提出仲裁的员工进行初步沟通，了解其具体的诉求和提起仲裁的原因，为后续的处理打下基础。
二、组建团队与收集证据
组建应对团队：
- 由法务人员牵头，联合人力资源部门相关人员及该员工的直属上级，组成应对团队，共同处理此事。
全面收集证据：
- 收集和整理所有与仲裁相关的证据，如劳动合同、规章制度、工资支付记录、考勤记录等，以证明公司的立场和行为的合法性。
三、提出调解意愿
明确调解意愿：
- 在初步沟通和分析后，如果公司认为有必要且有可能通过调解解决争议，可以明确向员工或仲裁机构表达调解的意愿。
选择合适的调解机构：
- 可以选择企业内部的劳动争议调解委员会，或者外部的基层人民调解组织等第三方调解机构进行调解。
四、进行调解
制定调解方案：
- 在调解前，公司应制定一个合理的调解方案，明确调解的目标、原则和具体的调解措施。
参与调解过程：
- 积极参与调解过程，与调解机构和员工进行有效沟通，寻求双方都能接受的解决方案。
达成调解协议：
- 如果调解成功，应签订书面的调解协议，明确双方的权利和义务，以及调解结果的执行方式。
五、后续处理
履行调解协议：
- 如果调解成功并签订了调解协议，公司应严格按照协议内容履行相关义务，确保调解结果的落实。
加强人事管理：
- 针对此次仲裁和调解过程，公司应反思并加强人事管理，完善劳动合同和规章制度，降低未来发生劳动争议的风险。
应对恶意仲裁：
- 如果公司认为员工存在恶意仲裁行为，应积极收集证据进行反驳，并通过法律途径维护公司的合法权益。
综上所述，当员工申请仲裁而公司希望提出调解时，应秉持积极、主动的态度，通过有效的沟通和协商，寻求双方都能接受的解决方案，并加强人事管理和法律风险防范工作，以确保公司的稳定和持续发展。