亲人离世后，其银行存款的提取确实需要遵循一定的法律程序。以下是一些建议，希望能对您有所帮助：

首先，您需要明确自己是否具有继承权。根据《中华人民共和国民法典》的规定，遗产按照配偶、子女、父母的顺序继承。如果没有第一顺序继承人，则由兄弟姐妹、祖父母、外祖父母等第二顺序继承人继承。因此，在提取存款之前，请确保您具备合法的继承身份。

接下来，您可以选择通过公证处公证或法院诉讼的方式来解决存款继承问题。如果您选择公证处公证，您需要携带本人身份证、户口本以及直系亲属关系证明等材料到公证处申请办理公证。取得公证书后，您可以将其提供给银行以提取存款。另一种方式是通过法院诉讼解决。当存款的继承权存在纠纷时，您可以以继承权纠纷或储蓄合同纠纷为由诉请人民法院判处。在取得法院生效裁判文书后，您可以凭借该文书到银行提取已故亲人的存款。

此外，根据最新的政策变化，如果已故存款人在同一法人银行业金融机构的账户余额合计不超过5万元人民币，继承人无需提交公证书就可一次性提取已故存款人存款及利息。这一政策简化了小额存款的提取流程，为继承人提供了更多便利。但请注意，这一政策可能因地区和银行的不同而有所差异，建议您在提取前咨询相关银行的具体要求。

最后，如果已故存款人的账户中汇入了丧葬费或抚恤金等资金，这些资金在性质上与生前存款不同。根据最新规定，丧葬费和抚恤金不计入5万元账户限额，可以全额简化提取。但提取时仍需遵循相应的程序和要求，建议您向银行了解具体细节。

总之，在提取已故亲人银行存款的过程中，请确保自己具备合法的继承身份，并遵循相应的法律程序。如有任何疑问或困难，请及时咨询专业律师或相关机构的意见。