对于1972年出生的灵活就业人员，其退休年龄会受到2025年起实施的弹性退休制度的影响。以下是对这一问题的详细解答：

一、法定退休年龄的基准点

根据《全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定》，我国自2025年1月1日起，将逐步延迟法定退休年龄。对于1972年出生的男职工，其改革后的法定退休年龄将延迟到62周岁（具体可能会因月份而有所差异，但此处以整年为例进行说明）。对于女职工，原法定退休年龄为50周岁或55周岁，改革后将分别延迟到55周岁和58周岁。但请注意，这只是一个基准点，实际退休年龄可以在这个基础上进行弹性选择。

二、弹性退休制度

1. 弹性提前退休：

   • 职工达到国家规定的按月领取基本养老金最低缴费年限后，可以自愿选择弹性提前退休。
   • 提前时间距法定退休年龄最长不超过3年，且退休年龄不得低于女职工50周岁、55周岁及男职工60周岁的原法定退休年龄。
   • 对于1972年出生的男职工，如果他想弹性提前退休，在满足最低缴费年限的前提下，可以在60岁至62岁之间选择退休。

2. 弹性延迟退休：

   • 职工达到法定退休年龄时，所在单位与职工协商一致的，可以弹性延迟退休。
   • 延迟时间距法定退休年龄最长不超过3年。
   • 同样以1972年出生的男职工为例，如果单位和他协商一致再多干几年，他还可以在62岁至65岁之间弹性延迟退休。

三、申请流程

• 弹性提前退休：职工自愿选择弹性提前退休的，至少在本人选择的退休时间前3个月以书面形式告知所在单位。
• 弹性延迟退休：所在单位与职工协商一致弹性延迟退休的，应提前1个月以书面形式明确延迟退休时间等事项。

四、养老金领取

• 选择弹性提前退休的职工，所在单位应不晚于职工选择的退休时间当月向社会保险经办机构提出领取基本养老金申请，审核通过的，职工从本人所选择退休时间的次月开始领取基本养老金。
• 弹性延迟退休的职工，在延迟退休期间继续工作并缴纳养老保险费，退休后按相关规定领取养老金。

五、注意事项

• 弹性退休制度坚持自愿、弹性的原则，职工可以根据自身和所在单位情况自由选择退休时间。
• 用人单位不得违背职工意愿，违法强制或变相强制职工选择退休年龄。
• 公务员、国有企事业单位领导人员及其他管理人员，达到法定退休年龄时应当及时办理退休手续。

综上所述，1972年出生的灵活就业人员的退休年龄并不是固定的，而是可以根据弹性退休制度进行选择的。在选择退休时间时，职工应充分考虑自身情况、单位需求以及养老金领取等因素，做出最适合自己的决定。