无论是第三者还是私生子，在特定情况下都可能有探监的资格，但这主要取决于具体的法律关系和实际情况。
关于第三者的探监资格：
- 如果第三者与被监禁人之间存在合法的亲属关系（如兄妹、父母子女等），并且符合探监的相关规定，那么第三者是有可能具备探监资格的。
- 如果第三者与被监禁人之间不存在合法的亲属关系，或者虽然存在关系但不符合探监规定（如探监时间、次数等限制），则第三者通常不具备探监资格。
关于私生子的探监资格：
- 私生子作为被监禁人的非婚生子女，在法律上与婚生子女享有同等的权利。因此，如果私生子与被监禁人之间存在父子/母子关系，并且符合探监的相关规定，私生子是有探监资格的。
- 需要注意的是，探监的具体规定可能因地区、监狱以及被监禁人的具体情况而有所不同。因此，在实际操作中，还需要根据当地的相关规定和实际情况来确定私生子的探监资格。
总的来说，探监资格并不是一成不变的，而是需要根据具体的法律关系和实际情况来判断。如果你有更具体的问题或者需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况给出更详细的解答。