结论：职务犯罪官员有私生子的情况下，其母亲（即私生子的生母）是否可以探监，需根据具体的法律规定和监狱的探视政策来确定，一般情况下，若符合相关条件，是可以探监的。以下从多个角度进行详细分析：
一、法律角度
探视权的基本规定：
- 根据我国相关法律规定，罪犯在服刑期间，其家属有权进行探视。这是罪犯及其家属的基本权利，也是监狱管理的一项重要内容。
- 探视权通常包括直系亲属、配偶、监护人等，但具体范围可能因监狱政策和罪犯的犯罪性质、服刑表现等因素而有所调整。
私生子母亲的身份认定：
- 私生子的母亲，作为罪犯的非婚生子女之母，在法律上同样享有探视权。因为非婚生子女与婚生子女享有同等的法律地位，其母亲作为法定监护人之一，有权探视在监狱服刑的罪犯。
二、监狱政策角度
监狱的探视政策：
- 不同监狱可能根据自身的实际情况和罪犯的管理需要，制定不同的探视政策。这些政策可能包括探视时间、探视方式、探视人员范围等。
- 因此，私生子母亲是否可以探监，还需具体了解罪犯所在监狱的探视政策。
特殊情况下的探视限制：
- 在某些特殊情况下，如罪犯涉及严重犯罪、服刑期间表现不佳或存在安全隐患等，监狱可能会对探视进行限制或禁止。
- 但这种情况通常针对的是罪犯的特定行为或状态，而非其家属的身份。因此，除非私生子母亲本身存在不符合探视条件的情况（如涉及犯罪、与罪犯有不良关系等），否则一般不会被禁止探视。
三、实际操作角度
申请探视的流程：
- 私生子母亲若想探监，通常需要向罪犯所在监狱提出申请，并提供相关证明材料（如身份证明、与罪犯的关系证明等）。
- 监狱在收到申请后，会进行审核并决定是否批准探视。审核过程中，监狱可能会考虑罪犯的服刑表现、探视人员的身份和背景等因素。
探视时的注意事项：
- 在获得探视批准后，私生子母亲需遵守监狱的探视规定，如按时到达、遵守探视纪律、不得携带违禁品等。
- 探视过程中，应尊重罪犯的隐私和尊严，避免提及可能引起罪犯情绪波动或不利于其改造的话题。
建议：如果您是私生子的母亲，且希望探视在监狱服刑的职务犯罪官员，建议您先了解罪犯所在监狱的探视政策，然后按照政策要求提出申请。在申请过程中，提供完整的证明材料并遵守相关规定，以增加获得探视批准的可能性。如果您在申请过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。