被家猫抓伤后，首先不要惊慌，按照以下步骤进行处理：
一、紧急医疗处理
清洁伤口：立即用清水或肥皂水彻底清洗伤口，尽量去除伤口内的污物和细菌。
消毒：用碘酒或酒精对伤口进行消毒，以减少感染的风险。
就医：尽快前往医院或诊所，由专业医生对伤口进行评估和处理。医生可能会根据伤口情况给予适当的药物治疗，如抗生素等，以预防感染。
接种疫苗：如果猫没有接种过狂犬疫苗，或者你不确定猫的接种情况，建议在医生的指导下接种狂犬疫苗，以预防狂犬病的发生。
二、与猫主人沟通
告知情况：及时将抓伤情况告知猫主人，以便他们了解并采取相应的措施。
协商处理：如果伤口较严重或产生了医疗费用，可以与猫主人协商赔偿事宜。在协商过程中，保持冷静和理性，尽量通过书面记录或电子方式沟通，以便保留证据。
三、后续观察与护理
观察伤口：在伤口愈合期间，要密切观察伤口情况，如出现红肿、化脓等感染迹象，应及时就医。
避免刺激：避免伤口受到进一步刺激，如摩擦、挤压等，以免影响伤口愈合。
饮食调整：适当调整饮食，增加营养摄入，有助于伤口愈合和身体恢复。
四、法律维权（如必要）
如果与猫主人协商无果，或者伤势较重、产生了较大的医疗费用，你可以考虑通过法律途径维护自己的权益。在此过程中，建议咨询专业律师，了解相关法律规定和维权程序。
总之，被家猫抓伤后，首先要确保自己的健康和安全，及时采取医疗措施并观察伤口情况。同时，与猫主人保持沟通，协商处理相关事宜。如有需要，可以通过法律途径维护自己的权益。