当定期存款的存款人去世后，其家属能否提取存款以及具体的取款方式，确实需要根据多种因素来确定。以下是一个详细且清晰的解答：
一、知道存款密码的情况
若存款金额未超过银行规定的限额（这个限额通常不超过5万元，但具体可能因银行而异）：
- 在定期存款到期的情况下，家属可以直接凭借存折、密码以及存款人的身份证（若银行有要求）在银行ATM机或柜台进行支取。
- 若存款尚未到期，部分银行也可能允许家属凭上述证件和密码提前支取，但可能需要支付一定的提前支取利息。
若存款金额超过银行规定的限额：
- 即便知道密码，家属也可能需要按照银行的规定提供额外的证明材料，如死亡证明、亲属关系证明等，才能支取存款。
二、不知道存款密码或存款金额较大的情况
开具必要证明：
- 家属需前往当地公安机关开具死亡证明，证实存款人的死亡事实。
- 若需要办理继承手续，家属还需提供亲属关系证明，明确与存款人的关系。
确定继承人：
- 若存款人生前订立了有效遗嘱并明确指定了继承人，该继承人可以凭遗嘱、死亡证明、本人身份证等相关证件直接到银行提取存款。
- 若无遗嘱或遗嘱无效，所有法定继承人（如配偶、子女、父母等）需共同前往公证处办理继承公证，确认各继承人对存款的合法继承权。
提交材料并支取存款：
- 继承人需携带公证书（如有）、死亡证明、本人身份证、存款凭证（如存折、存单、银行卡等）等材料前往存款所在银行。
- 银行在审核相关文件无误后，会将存款支付给继承人。若存款金额较小且符合相关规定，第一顺序继承人可能可以向银行提交简化材料申请提取。
三、多个继承人之间存在争议的情况
- 如果多个继承人之间对存款的分配存在争议，无法协商一致，则需要通过法律途径解决。其中一位继承人可以向法院提起继承诉讼，法院会根据法律规定和实际情况进行审理，并作出判决。在法院作出判决后，继承人可以凭借生效的判决书到银行办理取款手续。
注意事项
- 不同地区的银行和具体规定可能有所不同，建议家属在办理前先咨询当地银行或相关部门的具体要求和流程。
- 在整个过程中，家属应确保提供的所有证件和材料都是真实有效的，以避免因材料不实而导致的取款延误或拒付。
综上所述，家属在取出死亡人员的定期存款时，应根据自身情况和银行的具体规定来选择相应的操作方式，并确保遵守相关法律法规和银行规定。