要证明经济性裁员合法，用人单位需要同时满足实体性条件和程序性条件。以下是对这两个方面的详细解释：

一、实体性条件

1. 符合法定情形：用人单位必须因特定的经济原因才能进行经济性裁员。这些法定情形包括：

   • 依照企业破产法规定进行重整；
   • 生产经营发生严重困难；
   • 企业转产、重大技术革新或者经营方式调整，经变更劳动合同后，仍需裁减人员；
   • 其他因劳动合同订立时所依据的客观经济情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行。

2. 裁员人数达到一定比例：需要裁减人员二十人以上或者裁减不足二十人但占企业职工总数百分之十以上的，才属于经济性裁员。这一规定旨在防止企业随意以经济性裁员为由解雇少量员工，确保裁员的严肃性和合法性。

二、程序性条件

1. 提前说明情况并听取意见：

   • 用人单位需提前三十日向工会或者全体职工说明情况，包括裁员的原因、裁员的方案、裁员的时间及实施步骤等，并提供有关生产经营状况的资料。
   • 提出裁减人员方案，该方案应明确被裁减人员名单、裁减时间、实施步骤以及符合法律、法规规定和集体合同约定的被裁减人员经济补偿办法等。
   • 将裁减人员方案征求工会或者全体职工的意见，对方案进行修改和完善，确保裁员方案的合理性和公平性。

2. 报告劳动行政部门：

   • 裁减人员方案需经向劳动行政部门报告，只有在劳动行政部门未提出异议的情况下，企业才能正式实施裁员。这一步骤旨在确保裁员的合法性和合规性，保护员工的合法权益。

综上所述，要证明经济性裁员合法，用人单位必须同时满足上述实体性条件和程序性条件。在裁员过程中，用人单位应严格按照法律法规的规定进行操作，确保裁员的合法性和公平性，同时积极与员工沟通协商，妥善处理裁员引发的各种问题。