要证明公司裁员是合法的，我们需要从多个维度进行综合考量。以下是详细的分析和说明：
结论前置：公司裁员要合法，必须同时满足实体性条件、程序性条件，并依法支付经济补偿。
一、实体性条件
公司裁员必须基于法定的裁员事由，这些事由包括：
- 企业破产法规定的重整：公司需提供法院受理破产重整申请的裁定书等确凿证据。
- 生产经营发生严重困难：需通过财务报表、审计报告等证据证明公司出现严重亏损、资金链断裂等情况，且其他措施无法解决困境。
- 企业转产、重大技术革新或经营方式调整：在变更劳动合同后仍需裁减人员，需提供相关项目文件、技术革新证明材料及决策文件，如董事会决议、股东会决议等，并证明已与员工进行协商。
- 其他客观经济情况发生重大变化：如不可抗力因素导致业务无法正常开展，需证明该变化与裁员之间的直接因果关系。
同时，公司需注意不能裁掉特定受法律保护的员工，如孕期、产期、哺乳期的女职工，以及在本单位连续工作满十五年且距法定退休年龄不足五年的员工等。
二、程序性条件
合法裁员需遵循以下程序：
提前通知与说明：
- 公司需提前三十日向工会或全体职工说明裁员情况，听取工会或职工的意见，并保留相关书面记录。若公司未设立工会，则应直接通知全体员工，并听取其意见。
报告劳动行政部门：
- 裁减人员方案需向劳动行政部门报告，包括被裁减人员名单、裁减时间及实施步骤等，得到批准后方可实施。
通知工会：
- 裁员前，公司应事先将裁员理由通知工会，并研究工会的意见，将处理结果书面通知工会。
三、经济补偿
公司裁员时，应依法向被裁员工支付经济补偿。经济补偿的计算方式如下：
- 根据员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付经济补偿。
- 六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 这里的月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
四、员工应收集的证据
为了证明公司裁员的合法性，员工也可以主动收集以下证据：
- 离职证明：公司应在解除或终止劳动合同时出具离职证明，并明确注明离职原因。
- 工作交接记录：工作交接单上明确写明离职原因为辞退，并尽可能让公司盖章确认。
- 其他证据：如与公司的通信记录（电子邮件、短信、微信等）、工资条、银行工资流水明细等。
综上所述，要证明公司裁员是合法的，公司必须同时满足实体性条件、程序性条件，并依法支付经济补偿。员工也可以通过收集相关证据来验证公司裁员的合法性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。