私下自愿抱养，如果未经过合法收养程序，公安局在特定情况下是有可能会查的。这是因为收养儿童必须遵循法律程序，在县级及以上级别的人民政府民政部门进行审批与注册，领养关系在经过许可之后才能正式生效。以下是对此问题的详细分析：

1. 收养法律的明确规定：

   • 根据《民法典》第一千一百零五条，收养应当向县级以上人民政府民政部门登记，收养关系自登记之日起成立。这意味着，任何未经登记的收养行为都是不合法的。

2. 私下抱养的法律风险：

   • 如果双方在未获得任何官方机构授权的情况下秘密达成抚养计划，这将构成违法行为。公安机关在发现此类情况时，有权展开调查。
   • 私下抱养的孩子在办理户籍登记时也会遇到困难。因为合法的收养关系是办理户口的前提，没有合法的收养手续，擅自为领养的孩子办理户口可能会涉及到伪造、篡改、买卖国家机关公文、证件、印章等违法行为。

3. 合法收养的条件和程序：

   • 收养人必须同时具备《民法典》第一千零九十八条规定的条件，包括无子女或者只有一名子女、有抚养教育和保护被收养人的能力等。
   • 收养人需要向收养登记机关提交收养申请书和相关证件、证明材料，如居民户口簿、居民身份证、婚姻状况证明等。
   • 收养查找不到生父母的弃婴、儿童的，还需要提交特定的证明材料，如收养人生育情况证明、捡拾弃婴报案的证明等。

综上所述，私下自愿抱养是存在法律风险的，公安局在特定情况下有权对此进行调查。因此，建议双方在决定领养孩子之前，严格遵守法律程序，确保领养关系的合法性和有效性。如果有任何关于收养法律的问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。