没还清贷款的房子在某些情况下确实可以进行公证，但公证的内容和形式会受到一定的限制。以下是对这一问题的详细解答：
一、可以公证的情况与具体形式
委托公证：
- 如果你因故无法亲自办理与房产相关的手续（如提前还款、交易等），可以通过委托公证授权他人代为处理。这种公证形式不涉及产权转移，因此通常不受贷款未还清的限制。
- 例如，你因工作原因在外地，无法亲自处理房产事务，就可以通过委托公证授权亲友代为处理。
声明公证：
- 你可以对与房屋相关的事实或意愿进行声明并公证，如房屋居住情况、未来处置意向等。只要内容合法且不涉及不当处分产权，一般都可以进行公证。
- 比如，你打算出租未还清贷款的房子，为避免未来纠纷，可以办理声明公证，明确出租事实及相关约定。
其他合同公证：
- 除产权转移类合同外，双方可就房产的租赁、使用等其他约定进行公证，以增强合同的法律效力。此类公证主要证明合同内容的真实性和合法性，而非产权归属。
- 例如，你和租户就未还清贷款房子的租赁事宜达成协议，可以前往公证处对租赁合同进行公证。
二、存在限制的情况
- 产权转移类公证（如买卖合同、赠与合同公证）：
- 由于房屋处于抵押状态，产权受限，未经银行同意，不得转让或赠与。因此，在办理此类公证时，公证处通常会要求提供银行同意证明或其他相关材料。
- 如果你打算出售或赠与未还清贷款的房子，需要先取得银行的同意，否则公证处可能会拒绝办理相关公证。
三、公证流程与所需材料
- 准备材料：个人身份证明（身份证、户口簿等）、与约定内容有关的财产证明（房产证复印件、购房合同等）、双方草拟的协议书等。
- 公证流程：申请、受理、审查、出具公证书。你需要向公证处提出请求，提交相关材料，经审查核实后，符合条件则出具公证书。
四、法律效力与注意事项
- 法律效力：公证能确保房产交易或约定的真实性和合法性，有效预防纠纷。但公证并不等同于过户，不改变房产产权状态。
- 注意事项：
- 在公证前应与银行沟通，确保其同意公证内容，以免影响贷款偿还。
- 不同地区的公证机构操作和要求可能有所不同，办理时需咨询当地机构并按规定提交材料和办理手续。
- 公证后若涉及产权变更，仍需先还清贷款解除抵押再办理后续手续。
综上所述，未还清贷款的房子在符合一定条件和形式下是可以进行公证的，但需注意相关法律法规及银行规定，确保公证的合法性和有效性。如果你在具体办理过程中遇到任何问题或需要进一步的法律咨询，可以直接向我提问。