在一般情况下，杀人后自杀，犯罪嫌疑人的家属不需要承担刑事责任，但可能涉及民事赔偿责任。下面我将从刑事责任和民事赔偿责任两个方面进行详细解释：

一、刑事责任

刑事责任具有个人性，即“罪责自负”，每个人只对自己的行为负责。因此，当犯罪嫌疑人杀人后自杀，其刑事责任因其死亡而自然消灭，家属不会因此承担任何刑事责任或法律牵连。家属的财产、权益等也不会直接受到法律的追究或影响。

二、民事赔偿责任

1. 以遗产为限的赔偿：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条的规定，如果犯罪嫌疑人留有遗产，并且其家属继承了这些遗产，那么家属需要在继承遗产的范围内对受害者家属承担民事赔偿责任。这包括赔偿医疗费、丧葬费、死亡赔偿金、被扶养人生活费等费用。
   • 例如，如果犯罪嫌疑人的遗产总值为120万元，而需要向受害者家属赔偿80万元，那么家属需要用这些遗产来支付赔偿。如果赔偿额超出遗产价值，家属无需用自己的财产来偿还超出部分，除非他们自愿这样做。

2. 放弃继承的责任免除：

   • 如果家属明确表示放弃继承犯罪嫌疑人的遗产，那么他们就无需承担上述的民事赔偿责任。

3. 特殊情况：

   • 在某些特殊情况下，如果家属与犯罪嫌疑人共谋犯罪或协助其逃避法律制裁，那么家属可能会因此承担相应的法律责任。但这并不属于一般的“牵连”范畴，而是基于他们自身的违法行为而应承担的责任。

三、总结与建议

综上所述，杀人后自杀的情况下，犯罪嫌疑人的家属通常不会承担直接的法律责任。但在民事赔偿方面，如果犯罪嫌疑人留有遗产并且家属继承了这些遗产，那么家属可能需要在继承遗产的范围内承担赔偿责任。

如果你或你的家人面临类似的情况，建议尽快咨询专业的法律人士，以便更详细地了解具体的法律责任和赔偿义务。同时，也建议家属在处理遗产和赔偿事宜时，遵循法律规定和道德准则，以维护自身的合法权益和社会的公平正义。