教练员在肇事逃逸后，如果没有交强险，且被相关部门查处，其教练资格可能会受到影响，甚至可能无法继续担任教练。

首先，从法律角度来看，肇事逃逸是严重的交通违法行为，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，将受到三年以上七年以下有期徒刑的处罚；因逃逸致人死亡的，更是将面临七年以上有期徒刑的严厉惩罚。这意味着，教练员如果肇事逃逸，将可能面临刑事责任的追究。

其次，在民事赔偿方面，逃逸的教练需承担全部赔偿责任，包括受害方的人身损害赔偿和财产损失赔偿等。这种赔偿责任是独立的，不因其是否拥有交强险而有所减免。如果教练没有交强险，那么他将需要自行承担全部的赔偿费用，这对其个人经济来说将是一个沉重的负担。

再者，从行业管理的角度来看，教练员作为驾校的员工，其行为也代表着驾校的形象和声誉。如果教练员发生肇事逃逸等严重违法行为，不仅会对受害方造成极大的伤害，也会严重损害驾校的声誉和信誉。因此，驾校在得知教练员发生此类行为后，很可能会采取相应的管理措施，包括但不限于解除与其的劳动关系、撤销其教练资格等。

综上所述，教练员在肇事逃逸后，其教练资格很可能会受到影响。即使没有交强险，他也需要承担全部的赔偿责任，并可能面临刑事责任的追究。同时，驾校也可能因其违法行为而采取相应的管理措施。因此，建议教练员在驾驶过程中务必遵守交通规则，确保行车安全，避免发生任何违法行为。