当犯罪嫌疑人或被告人在取保候审期间不幸去世时，其案件的处理将遵循一系列明确的法律程序，并需妥善处理相关后续事宜。以下是对此问题的详细解答：
一、刑事诉讼程序的处理
侦查阶段：
- 若案件尚处于公安机关的侦查阶段，由于犯罪主体已不存在，继续侦查已无实际意义。因此，公安机关应依法撤销案件，并解除对相关财物的查封、扣押、冻结等措施。
审查起诉阶段：
- 当案件已移送至检察机关进行审查起诉时，若犯罪嫌疑人死亡，人民检察院将依法作出不起诉决定。这是基于法定不起诉的情形，即犯罪嫌疑人已死亡，案件不再向法院提起公诉。
审判阶段：
- 若案件已进入法院审判阶段，被告人死亡将导致人民法院裁定终止审理。然而，如果根据已查明的案件事实和证据能够确认被告人无罪，人民法院应判决宣告被告人无罪。
二、取保候审措施的解除与保证金退还
- 一旦得知被取保候审人死亡，执行机关（通常是公安机关）应立即报告决定机关，并依法撤销取保候审措施。同时，决定机关需核实死亡原因，并通知原办案机关、家属、保证人等相关当事人和单位。
- 对于在取保候审期间缴纳了保证金的犯罪嫌疑人或被告人，只要不存在违反取保候审规定的情形，其家属可凭解除取保候审的通知或相关法律文书到银行领取退还的保证金。
三、民事赔偿问题的处理
- 若犯罪行为给被害人造成了物质损失，虽然刑事诉讼程序因犯罪嫌疑人或被告人的死亡而终结，但被害人及其家属仍可通过民事诉讼途径要求赔偿。具体来说，他们可以向犯罪嫌疑人或被告人的继承人在继承遗产范围内主张民事赔偿责任。依据《中华人民共和国民法典》，继承人以所得遗产实际价值为限清偿债务。
四、特殊情形的处理
- 因病死亡：若被取保候审人因病死亡，执行机关应及时通知其家属领取遗体并处理丧事。同时，将死亡情况和处理结果记录在案，以备后续查询和参考。
- 涉嫌新犯罪：若在取保候审期间，被取保候审人涉嫌故意实施新的犯罪行为，虽已死亡，但司法机关仍需对其生前行为进行追诉和审判。这需要根据法律规定和实际情况进行具体判断和处理。
五、司法机关的后续工作
- 司法机关需按照法定程序完成案件的后续处理工作，包括整理、归档相关案件材料。这有助于确保司法工作的规范性和严肃性，并为后续可能出现的法律争议提供有力证据。
- 对于可能引发社会关注的案件，司法机关还需做好信息公开和解释说明工作。通过及时、准确地发布案件信息，回应社会关切，维护司法公信力和社会稳定。
综上所述，当犯罪嫌疑人或被告人在取保候审期间死亡时，其案件的处理将涉及刑事诉讼程序的终止、取保候审措施的解除与保证金退还、民事赔偿问题的处理以及特殊情形的应对等多个方面。司法机关需严格遵循相关法律法规，确保程序的合法性和公正性，同时灵活处理各方合法权益，以维护社会稳定和司法公信力。