结论前置：在符合法律法规的前提下，公司可以在特定情况下辞退员工且无需支付经济补偿，但这些情况都有严格的法律要求和程序限制。以下我将从多个角度详细阐述这些情况及相应的法律要求。
一、员工存在过错的情况
试用期间不符合录用条件
- 法律要求：依据《劳动合同法》第39条第1项，公司可以辞退在试用期间被证明不符合录用条件的员工。但公司需在招聘时明确录用条件，并通过书面形式告知员工，同时建立完善的试用期考核制度，保留考核过程中的相关证据。
- 举例：若公司在招聘时明确要求某岗位需具备特定的技能或经验，并在劳动合同中明确列明，同时在试用期内对员工进行技能考核，若员工未能通过考核，公司则有权辞退且无需支付经济补偿。
严重违反规章制度
- 法律要求：根据《劳动合同法》第39条第2项，员工如严重违反用人单位的规章制度，公司可以依法解除劳动合同。规章制度的制定需经过民主程序，内容不得违反法律法规，且要向员工公示。公司需保留员工违纪的证据。
- 举例：若公司规章制度中明确规定禁止员工在工作时间内饮酒，且该制度已向员工公示，若员工违反此规定，公司则有权辞退且无需支付经济补偿。
严重失职、营私舞弊
- 法律要求：依据《劳动合同法》第39条第3项，若员工严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害，公司可以辞退员工。公司需明确“重大损害”的标准，并在规章制度中界定，同时保留员工失职、营私舞弊行为的证据及其给公司造成损害的相关证明。
- 举例：若员工因严重失职导致公司遭受重大经济损失，或员工利用职务之便谋取私利，给公司造成重大损害，公司则有权辞退且无需支付经济补偿。
与其他用人单位建立劳动关系
- 法律要求：若员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响或拒不改正，公司可以依据《劳动合同法》的相关规定辞退员工。公司需证明员工的同时兼职行为及其对本单位工作的影响。
- 举例：若员工在未经公司同意的情况下，同时在其他公司兼职，且该兼职行为严重影响了其在本公司的工作表现，公司则有权辞退且无需支付经济补偿。
劳动合同无效
- 法律要求：因劳动者以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使用人单位在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，公司可以依据《劳动合同法》第26条和第39条第5项辞退员工。公司需保留员工提供虚假信息的证据。
- 举例：若员工在入职时提供虚假的学历证明或工作经历，公司发现后则有权辞退且无需支付经济补偿。
被依法追究刑事责任
- 法律要求：若员工被依法追究刑事责任，公司可以依据《关于贯彻执行<中华人民共和国劳动法>若干问题的意见》第29条解除劳动合同。公司需留存好相关的法律文书作为依据。
- 举例：若员工因犯罪被法院判处刑罚，公司则有权辞退且无需支付经济补偿。
二、经济性裁员符合法定程序的情况
- 法律要求：公司在进行经济性裁员时，需符合《劳动合同法》规定的裁员情形，如企业破产法规定进行重整、生产经营发生严重困难等。同时，公司应提前三十日向工会或全体职工说明情况，听取意见，并将裁减人员方案向劳动行政部门报告。
- 举例：若公司因经营不善面临破产重整，需要裁减部分员工以降低成本，此时公司需按照法定程序进行裁员，包括提前通知工会或全体职工、听取意见、向劳动行政部门报告等，若符合法定条件，则无需支付经济补偿。
三、协商一致解除劳动合同的情况
- 法律要求：根据《劳动合同法》第36条，公司与劳动者可以协商一致解除劳动合同，且无需支付经济补偿。但这种方式需要双方达成共识，并可能涉及一定的安抚金或补偿协议。
- 举例：若公司因业务调整需要裁减某部门员工，但与员工协商后达成一致意见，员工同意离职且不要求经济补偿，此时公司则无需支付经济补偿。
四、辞退流程与注意事项
- 通知工会：公司单方解除劳动合同前，应事先将理由通知工会，履行法定程序。
- 送达辞退通知：公司应向员工出具解除或终止劳动合同的书面证明，明确辞退原因、时间等关键信息，并确保送达员工本人。若员工拒绝签收，可通过邮寄、公告等方式送达，并保留送达证据。
- 结算工资与办理离职手续：在辞退员工时，公司需一次性结清员工工资，并协助员工办理离职手续，包括归还公司财物、交接工作等。
- 档案和社保关系转移：公司应在规定时间内为员工办理档案和社会保险关系转移手续，确保员工的合法权益得到保障。
五、违法辞退的后果
若公司违反法律规定辞退员工，如无正当理由随意辞退，则需按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。因此，公司在辞退员工时必须严格遵守法律规定，确保辞退行为的合法性和合理性。
总结与建议：公司在辞退员工时，应充分了解并遵循相关法律法规的要求，确保辞退行为的合法性和合规性。若公司有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我将根据公司的具体情况提供专业的法律建议。