公司想要合法地辞退员工且无需支付经济补偿，必须严格遵循《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。以下是对此问题的详细解答：

结论前置： 公司只有在员工存在特定严重违法、违规行为或特定情形下，才能依法单方解除劳动合同且无需支付经济补偿。这些情形包括但不限于：试用期间不符合录用条件、严重违反规章制度、严重失职造成重大损害、与其他用人单位建立劳动关系且严重影响本单位工作、劳动合同无效以及被依法追究刑事责任。

具体情形及法律依据：

1. 试用期间被证明不符合录用条件：

   • 公司需明确录用条件，并在试用期内对劳动者进行客观考核，保留考核记录。
   • 若劳动者未达录用条件，公司可依据《劳动合同法》第三十九条第一项规定解除合同且无需赔偿。

2. 严重违反用人单位的规章制度：

   • 规章制度需合法、合理且经民主程序制定，并向劳动者公示。
   • 劳动者的行为需达到“严重违反”程度，公司需确保有充分证据证明劳动者的违规行为。
   • 根据《劳动合同法》第三十九条第二项规定，公司可解除合同且无需赔偿。

3. 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害：

   • 公司需明确“重大损害”标准，并在规章制度中规定。
   • 需证明劳动者存在严重失职或营私舞弊行为，且与重大损害有因果关系。
   • 依据《劳动合同法》第三十九条第三项规定，公司可解除合同且无需赔偿。

4. 与其他用人单位建立劳动关系，严重影响本单位工作：

   • 若劳动者同时与其他单位建立劳动关系，且严重影响本单位任务完成，或拒不改正兼职行为，公司可依据《劳动合同法》第三十九条第四项规定解除合同。

5. 劳动合同无效：

   • 以欺诈、胁迫等手段使对方在违背真实意思情况下订立的劳动合同无效。
   • 公司需证明劳动者存在欺诈、胁迫等行为，导致合同无效。
   • 根据《劳动合同法》第二十六条及第三十九条第五项规定，公司可解除合同且无需赔偿。

6. 被依法追究刑事责任：

   • 当劳动者被人民法院判处刑罚时，公司可依据《劳动合同法》第三十九条第六项规定解除合同且无需支付经济补偿。

注意事项：

• 公司在解除劳动合同时，必须确保有充分的证据支持其决定，并遵循法定的解雇程序。
• 除上述特定情形外，公司在解除劳动合同时通常需要按照法律规定或合同约定给予劳动者相应的经济补偿。

综上所述，公司想要合法地辞退员工且无需支付经济补偿，必须严格遵循法律规定，并确保有充分的证据支持其决定。同时，公司也应尊重员工的权益，遵守相关法律法规，以构建和谐的劳动关系。