结论：公司若想合法辞退员工且无需支付赔偿，必须严格遵循法定情形和程序。以下从不同角度详细分析：

一、法定无需赔偿的辞退情形

1. 员工存在过错：

   • 严重违反公司规章制度：公司需有明确的规章制度，且该制度已向员工公示或告知。员工严重违反时，公司可辞退且无需赔偿。例如，员工多次旷工、严重失职造成公司重大损失等。
   • 严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害：这要求员工的失职或营私舞弊行为必须达到“严重”程度，且给公司造成了“重大损害”。损害的严重性需根据公司的实际损失、行业惯例等因素综合判断。
   • 被依法追究刑事责任：员工若因犯罪被依法追究刑事责任，公司有权辞退且无需支付赔偿。但需注意，必须是“被依法追究刑事责任”，而非仅被刑事拘留或逮捕。

2. 经济性裁员：

   • 公司经营状况发生严重困难：如公司因市场变化、经营不善等原因导致严重亏损，无法继续维持正常运营，可进行经济性裁员。但需提前向工会或全体职工说明情况，听取意见，并向劳动行政部门报告。
   • 其他法定情形：如公司转产、重大技术革新或经营方式调整，经变更劳动合同后仍需裁员等。

二、辞退程序要求

1. 提前通知：

   • 除员工存在严重过错外，公司辞退员工一般需提前30日以书面形式通知员工本人，或额外支付员工一个月工资（即代通知金）后立即辞退。

2. 支付经济补偿（特定情形下）：

   • 虽然问题关注的是“无需赔偿”的情形，但需注意，在部分辞退情况下（如经济性裁员、劳动合同到期不续签等），公司仍需支付经济补偿。经济补偿的计算标准为：按员工在公司工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。

3. 办理离职手续：

   • 公司辞退员工后，需及时为员工办理离职手续，包括出具离职证明、办理社保和公积金转移等。

三、违法辞退的法律后果

1. 支付赔偿金：

   • 若公司违法辞退员工（如未遵循法定程序、未满足法定情形等），员工有权要求公司支付赔偿金。赔偿金的标准为经济补偿的两倍。

2. 恢复劳动关系：

   • 在某些情况下，员工可能要求恢复劳动关系，即继续回公司工作。这通常发生在公司违法辞退且员工希望继续留在公司的情况下。

四、建议

1. 完善公司规章制度：

   • 公司应制定完善的规章制度，明确员工的职责、行为规范以及违纪处理措施等。这有助于公司在辞退员工时有明确的依据。

2. 加强证据收集：

   • 在辞退员工前，公司应收集充分的证据证明员工存在过错或符合法定辞退情形。这有助于避免在劳动仲裁或诉讼中处于不利地位。

3. 咨询专业律师：

   • 虽然我作为吴培树律师已经为你提供了详细的解答，但每个具体案件都有其独特性。因此，在辞退员工前，公司仍应咨询专业律师以确保操作的合法性和合规性。不过，既然你已经在向我咨询，我会尽我所能为你提供全面的法律支持。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。