结论：合同到期后单位没有续签但劳动者仍然继续工作的，劳动者在一定条件下可以申请赔偿或主张相关权益，具体分为以下几种情况。
一、视为双方同意以原条件继续履行劳动合同
根据《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第三十四条：“劳动合同期满后，劳动者仍在用人单位工作，用人单位未表示异议的，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。一方提出终止劳动关系的，人民法院应予支持”。这意味着，在合同到期后，如果劳动者继续在原单位工作，且单位没有提出异议，那么双方之间的劳动关系仍然存在，且按照原合同的条件继续履行。
在此情况下：
- 劳动者有权要求单位支付工资、加班费、奖金等劳动报酬。
- 劳动者享有原劳动合同中约定的各项福利待遇。
- 如果单位未依法为劳动者缴纳社会保险费，劳动者有权要求单位补缴。
二、单位应签订而未签订书面劳动合同的法律责任
如果合同到期后，劳动者继续在原单位工作，但单位未与劳动者签订书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资”。
在此情况下：
- 劳动者有权要求单位支付未签订书面劳动合同期间的双倍工资差额。具体计算公式为：双倍工资差额 = 月工资 × 未签订书面劳动合同的月数（但最长不超过11个月）。
- 需要注意的是，如果劳动者在合同到期后继续工作，但双方已经形成了事实上的劳动关系，且单位在合理期限内未提出异议，那么劳动者主张双倍工资差额的请求可能会受到一定限制，具体需根据实际情况和当地司法实践来判断。
三、关于经济补偿或赔偿金的问题
如果单位提出终止劳动关系：
- 根据《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第三十四条，单位提出终止劳动关系的，应当按照劳动合同法第四十六条的有关规定，向劳动者支付经济补偿。经济补偿的计算公式为：经济补偿 = 月工资 × 工作年限（每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿）。
如果单位违法解除劳动关系：
- 如果单位在没有合法理由的情况下违法解除与劳动者的劳动关系，劳动者有权要求单位支付赔偿金。赔偿金的计算公式为：赔偿金 = 经济补偿 × 2。
四、建议与行动指南
- 保留证据：劳动者应保留好与工作相关的证据，如工资条、工作证、考勤记录等，以证明自己与单位之间存在劳动关系以及工作年限等事实。
- 及时沟通：如果合同到期后单位未续签但劳动者继续工作，建议劳动者及时与单位沟通，明确双方的权利和义务，避免产生不必要的纠纷。
- 寻求法律帮助：如果劳动者与单位之间就合同到期后续签、工资支付、经济补偿等问题产生争议，建议劳动者及时咨询专业律师，了解自己的权益和维权途径。
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