当劳动合同到期而公司或员工忘记续签时，这确实是一个需要谨慎处理的问题，因为它涉及到双方的法律权益。以下是对此问题的详细分析和补救建议：
一、法律后果分析
事实劳动关系：
- 根据《劳动合同法》的规定，如果劳动合同期满后，员工继续在公司工作，且公司没有提出异议，那么双方就形成了事实劳动关系。这意味着，即使没有书面的劳动合同，双方的劳动关系仍然受到法律的保护，包括工资支付、工伤责任等方面。
双倍工资差额风险：
- 如果公司超过一个月没有与员工续签劳动合同，根据相关法律规定，公司可能需要向员工支付双倍的工资差额。这个差额的计算时间是从合同期满的次日起，直到补签书面合同的前一日，或者实际终止劳动关系之日（以较早者为准）。
无固定期限合同触发条件：
- 如果员工在公司连续工作满十年，或者连续两次签订了固定期限合同且没有违规情形，或者公司超过一年未与员工订立书面合同，员工有权要求签订无固定期限合同。
二、补救措施建议
对公司而言：
立即补签书面合同：
- 一旦发现遗漏，公司应尽快与员工协商补签书面劳动合同，明确合同期限、薪资等关键条款，以避免支付双倍工资差额的风险。
协商处理方案：
- 如果遗忘时间较短（如一个月内），公司可以说明情况并与员工补签合同，通常无需支付双倍差额。
- 如果遗忘时间较长（超过一个月），公司应与员工协商补偿金额，或者通过补充协议确认劳动关系存续期间的权益。
合法终止路径：
- 如果公司决定不再续聘员工，应提前30天书面通知员工，并按照法律规定支付经济补偿金。
- 避免直接解除事实劳动关系，否则可能构成违法解雇，需要承担相应的法律责任。
对员工而言：
主动维权方式：
- 员工可以通过书面形式（如邮件）提醒公司续签劳动合同，并保留好催告的证据。
- 如果公司拒绝或拖延续签，员工可以向当地的劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁，主张双倍工资差额等权益。
合同类型选择权：
- 如果员工符合签订无固定期限劳动合同的条件，可以明确要求公司签订此类合同。
- 注意主张权利的时效限制，通常需要在一年内提出相关诉求。
三、注意事项
证据留存：
- 双方都需要保存好考勤记录、工资条、沟通记录等材料，以证明劳动关系的存续状态以及双方的协商过程。
地区差异：
- 部分省市对双倍工资差额的计算期限可能有特别规定，例如北京仅支持11个月的双倍工资差额。因此，在处理此类问题时，需要结合当地的司法实践进行。
协商解决优先：
- 通过友好协商达成补签协议或补偿方案，可以降低诉讼成本和时间消耗，对双方都是更为有利的选择。
综上所述，当劳动合同到期忘记续签时，双方应尽快采取补救措施，通过协商或法律途径解决争议，以保障各自的合法权益。