结论前置：小区绿化破坏的管理责任主要涉及物业公司、业主委员会、城市绿化行政主管部门、城管部门以及街道办事处等多个主体。具体管理责任和途径需根据破坏程度、物业公司处理情况以及相关法律法规来确定。

详细分析：

1. 物业公司的责任与义务：

   • 法律依据：根据《物业管理条例》，物业公司作为小区的管理方，有责任和义务对小区的公共设施和绿化进行维护和管理。
   • 具体职责：当小区绿化遭到破坏时，物业公司应当积极采取措施进行修复和保护，包括及时制止破坏行为、对受损绿化进行修复和补种，并有权要求破坏者承担相应的责任。
   • 业主行动：业主发现绿化被破坏后，应首先向物业公司反映情况，要求其及时处理。若物业公司未能履行职责，业主可进一步向业主委员会或相关部门投诉。

2. 业主委员会的角色：

   • 法律依据：业主委员会代表业主的利益，有权监督物业服务企业履行物业服务合同。
   • 具体职责：当物业公司未能有效处理绿化问题时，业主委员会有权介入，与物业公司沟通协商，督促其履行职责。若问题仍无法解决，业主委员会可根据相关规定组织业主共同决定后续行动。
   • 业主行动：业主可向业主委员会反映绿化问题，由其协调或监督处理。

3. 城市绿化行政主管部门的监管：

   • 法律依据：依据《城市绿化条例》，城市绿化行政主管部门主管本行政区域内的城市绿化工作，包括小区绿化。
   • 具体措施：业主可以向此部门投诉破坏绿化的行为，部门将调查核实并依法处理，包括要求责任人恢复绿地原状、支付罚款等。
   • 业主行动：在绿化被严重破坏或物业公司处理不力的情况下，业主可向城市绿化行政主管部门投诉。

4. 城管部门的执法：

   • 法律依据：城管部门（城市管理部门）依据城市管理法规，负责城市容貌和环境卫生的综合管理。
   • 具体措施：对影响城市整体市容市貌的绿化破坏行为进行制止和查处，可采取责令整改、罚款等措施。
   • 业主行动：当小区绿化被破坏涉及占用公共绿地、乱砍滥伐等违法行为时，业主可向城管部门举报。

5. 街道办事处的协调：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国地方各级人民代表大会和地方各级人民政府组织法》及相关规定，街道办事处负责社区建设、管理和服务等工作，包括对小区环境和物业管理的监督指导。
   • 具体措施：业主可向街道办事处反映问题，街道办事处将介入协调并督促物业履行职责。
   • 业主行动：业主在反映绿化问题时，也可考虑向街道办事处寻求帮助。

6. 便民服务渠道：

   • 12345政务服务便民热线：这是一个政府设立的公共服务平台，可以接收并转办业主的投诉和诉求。业主拨打热线后，平台将问题转至相关部门进行处理，并对处理过程和结果进行跟踪和监督。
   • 业主行动：对于不清楚具体归属部门或反映后问题未解决的情况，业主可通过此热线寻求帮助。

综合建议：

• 在处理小区绿化被破坏的问题时，业主应首先尝试与物业公司沟通协商，要求其履行职责。
• 若物业公司处理不力，业主可向业主委员会投诉，由其协调或监督处理。
• 在严重情况下，或涉及法律法规违反时，业主应及时向城市绿化行政主管部门、城管部门或街道办事处举报投诉，以依法维护小区绿化和业主权益。
• 同时，鼓励业主积极参与小区绿化的保护和维护工作，共同营造宜居环境。