申请国家赔偿需明确是行政赔偿还是刑事赔偿，并根据具体情况向相应的赔偿义务机关提出申请。以下是对这一问题的详细解答：
一、行政赔偿的申请部门及流程
赔偿义务机关：
- 一般情况：行政机关及其工作人员在行使行政职权时侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害的，该行政机关为赔偿义务机关。例如，若某市公安局在执法过程中违法拘留了某人，那么该市公安局就是赔偿义务机关。
- 特殊情况：
- 两个以上行政机关共同行使行政职权时侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害的，共同行使行政职权的行政机关为共同赔偿义务机关。
- 法律、法规授权的组织在行使授予的行政权力时侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害的，被授权的组织为赔偿义务机关。
- 受行政机关委托的组织或者个人在行使受委托的行政权力时侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害的，委托的行政机关为赔偿义务机关。
- 赔偿义务机关被撤销的，继续行使其职权的行政机关为赔偿义务机关；没有继续行使其职权的行政机关的，撤销该赔偿义务机关的行政机关为赔偿义务机关。
- 经复议机关复议的，最初造成侵权行为的行政机关为赔偿义务机关，但复议机关的复议决定加重损害的，复议机关对加重的部分履行赔偿义务。
申请流程：
- 赔偿请求人应当先向赔偿义务机关提出赔偿申请，赔偿义务机关应当自收到申请之日起两个月内作出是否赔偿的决定。
- 赔偿义务机关作出赔偿决定后，应当制作赔偿决定书，并自作出决定之日起十日内送达赔偿请求人。
二、刑事赔偿的申请部门及流程
赔偿义务机关：
- 侦查阶段：在侦查、检察、审判过程中，以及看守所、监狱管理机关及其工作人员行使职权时若造成损害，该机关即为赔偿义务机关。例如，公安机关在侦查中违法拘留公民，公民应向作出拘留决定的公安机关提出赔偿申请。
- 错误逮捕：若对公民采取逮捕措施后决定撤销案件、不起诉或判决宣告无罪，作出逮捕决定的机关为赔偿义务机关。通常，若由人民检察院批准逮捕，则人民检察院为赔偿义务机关；若由人民法院决定逮捕，则人民法院为赔偿义务机关。
- 再审改判无罪：若案件经再审改判无罪，作出原生效判决的人民法院为赔偿义务机关。二审改判无罪或二审发回重审后作无罪处理的，作出一审有罪判决的人民法院为赔偿义务机关。
申请流程与复议：
- 赔偿请求人要求司法赔偿，应当先向司法赔偿义务机关提出。司法赔偿义务机关应当自收到申请之日起两个月内作出是否赔偿的决定。
- 赔偿请求人对赔偿的方式、项目、数额有异议的，或者赔偿义务机关作出不予赔偿决定的，赔偿请求人可以自赔偿义务机关作出赔偿或者不予赔偿决定之日起三十日内，向赔偿义务机关的上一级机关申请复议。
- 复议机关应当自收到申请之日起两个月内作出决定。赔偿请求人不服复议决定的，可以在收到复议决定之日起三十日内向复议机关所在地的同级人民法院赔偿委员会申请作出赔偿决定；复议机关逾期不作决定的，赔偿请求人可以自期限届满之日起三十日内向复议机关所在地的同级人民法院赔偿委员会申请作出赔偿决定。
三、其他注意事项
- 赔偿请求人的资格：受害的公民、法人和其他组织有权要求赔偿。受害的公民死亡，其继承人和其他有扶养关系的亲属有权要求赔偿。受害的法人或者其他组织终止的，其权利承受人有权要求赔偿。
- 申请材料：赔偿请求人应当向赔偿义务机关提交赔偿申请书，载明受害人的基本情况、具体的要求、事实根据和理由等事项。
- 时效问题：赔偿请求人请求国家赔偿的时效为两年，自其知道或者应当知道国家机关及其工作人员行使职权时的行为侵犯其人身权、财产权之日起计算。
在申请国家赔偿时，请务必根据具体情况确定正确的赔偿义务机关，并按照法律规定的程序提交申请，准备好相关证据材料。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。