农民工起诉保险公司理赔安责险的法律依据主要可以从以下几个方面来阐述：

1. 《中华人民共和国保险法》：这是最直接且核心的法律依据。该法规定了保险合同的订立、履行、变更和终止，以及保险人和被保险人的权利和义务。在安责险的理赔过程中，如果保险公司未按照合同约定履行赔偿义务，农民工作为被保险人或受益人，有权依据《保险法》的相关规定提起诉讼，要求保险公司承担赔偿责任。

2. 《中华人民共和国安全生产法》：虽然这部法律主要关注的是安全生产问题，但它也间接涉及到了安责险。根据《安全生产法》的规定，生产经营单位应当投保安全生产责任保险，以分散因生产安全事故而产生的风险。因此，如果农民工在生产过程中发生安全事故并导致损失，且该事故属于安责险的保障范围，那么他们就有权依据这部法律要求保险公司进行理赔。

3. 相关的行政法规和部门规章：除了上述两部法律外，还有一些行政法规和部门规章也对安责险的理赔问题作出了规定。例如，中国银保监会发布的相关监管规定中，就明确了保险公司理赔的程序和要求，以及被保险人的权利和义务。这些规定为农民工起诉保险公司提供了更加具体的法律依据。

4. 保险合同条款：最后，但同样重要的是，保险合同条款本身也是农民工起诉保险公司的法律依据之一。保险合同中通常会详细约定保险责任、免责条款、理赔程序等内容。如果保险公司违反了合同中的约定，农民工就可以依据合同条款向法院提起诉讼，要求保险公司按照合同约定进行理赔。

综上所述，农民工起诉保险公司理赔安责险的法律依据主要包括《中华人民共和国保险法》、《中华人民共和国安全生产法》、相关的行政法规和部门规章以及保险合同条款本身。如果农民工在理赔过程中遇到任何问题或纠纷，都可以依据这些法律依据来维护自己的合法权益。