结论：私生孙子（即非婚生孙子）能否继承爷爷奶奶的遗产，主要取决于是否存在特定的法律情形。在没有遗嘱的情况下，孙子通常不能直接继承爷爷奶奶的遗产，但以下几种特殊情况可能使孙子获得遗产：

1. 代位继承：

   • 情形描述：如果孙子的父亲（或母亲，若其是爷爷奶奶的子女）先于爷爷奶奶去世，且该父亲（或母亲）原本有权继承爷爷奶奶的遗产，那么孙子可以代替其已故的父亲（或母亲）的位置，继承原本应由父亲（或母亲）继承的那部分遗产。这一规定同样适用于非婚生子女，因为法律上非婚生子女与婚生子女享有同等的继承权。
   • 法律依据：《中华人民共和国民法典》第一千一百二十八条：“被继承人的子女先于被继承人死亡的，由被继承人的子女的直系晚辈血亲代位继承。代位继承人一般只能继承被代位继承人有权继承的遗产份额。”

2. 转继承：

   • 情形描述：如果父亲（或母亲）在爷爷奶奶去世后、遗产分割前去世，并且没有放弃对爷爷奶奶遗产的继承权，那么父亲（或母亲）应继承的遗产份额将转给其继承人，此时孙子作为父亲（或母亲）的继承人之一，有权参与这部分遗产的分配。
   • 法律依据：《中华人民共和国民法典》第一千一百五十二条：“继承开始后，继承人于遗产分割前死亡，并没有放弃继承的，该继承人应当继承的遗产转给其继承人，但是遗嘱另有安排的除外。”

3. 遗赠扶养协议或遗嘱赠与：

   • 情形描述：虽然题目设定中未提及遗嘱，但理论上，如果爷爷奶奶通过书面遗嘱或其他形式明确将自己的部分或全部遗产赠与孙子，孙子也能依法获得相应遗产。此外，如果孙子与爷爷奶奶之间签订了遗赠扶养协议，并约定由孙子承担爷爷奶奶的生养死葬义务，那么在爷爷奶奶去世后，孙子可以根据协议的约定获得部分或全部遗产。

4. 特定情况下的酌情分得遗产权：

   • 情形描述：在某些特殊情况下，如孙子对爷爷奶奶尽了主要赡养义务或者与爷爷奶奶共同生活等，根据法律规定和司法实践，孙子可能会酌情分得一部分遗产。这需要根据具体情况进行法律分析和判断。

法律建议：

• 如果私生孙子希望继承爷爷奶奶的遗产，首先应了解是否存在上述特定的法律情形。
• 如果存在代位继承或转继承的情形，应准备好相关证据，如死亡证明、亲属关系证明等，以证明自己的继承权。
• 如果爷爷奶奶留下了遗嘱或遗赠扶养协议，应仔细审查协议内容，确保自己的权益得到保障。
• 在处理继承问题时，建议咨询专业律师（即我本人，胡光辉律师），以确保自己的权益得到充分维护。

可能法律后果：

• 如果私生孙子不符合上述任何一种特殊情形，且没有遗嘱或遗赠扶养协议的支持，那么他通常无法直接继承爷爷奶奶的遗产。
• 如果私生孙子试图通过不正当手段获取遗产，如伪造证据、隐瞒事实等，可能会面临法律责任和道德谴责。

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