关于您提出的“爷爷奶奶去世私生孙子能有继承权吗”这一问题，我们需要从法律的角度进行详细分析。
首先，我们要明确的是，在一般的法定继承情况下，孙子并不直接属于法定继承的第一或第二顺序继承人。根据《中华人民共和国民法典》的规定，法定继承的第一顺序为配偶、子女、父母；第二顺序为兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。因此，在通常情况下，孙子没有直接的继承权。
然而，存在几种特殊情况，使得孙子可能获得继承权：
代位继承：
- 如果孙子的父亲（或母亲）先于爷爷奶奶去世，那么孙子有权代位继承其父亲（或母亲）原本应继承的遗产份额。这是法律为了保障家庭财产的合理传承而设定的一种特殊继承方式。
遗嘱继承：
- 爷爷奶奶在生前可以立下合法有效的遗嘱，明确指定孙子为继承人，并详细说明遗产的分配方式。遗嘱的形式多样，包括自书遗嘱、代书遗嘱、打印遗嘱、录音录像遗嘱、口头遗嘱和公证遗嘱等。只要遗嘱符合法律规定，孙子就可以按照遗嘱的内容继承爷爷奶奶的遗产。这里需要特别指出的是，即使孙子是私生的，只要遗嘱合法有效，他仍然有权继承。
关于“私生孙子”的特别说明：
- 在法律上，非婚生子女（即私生子女）与婚生子女享有同等的权利。这意味着，无论孙子是婚生还是非婚生，他在继承权上的地位是平等的。因此，“私生孙子”这一身份并不影响他在特定条件下的继承权。
转继承（虽不直接涉及本题，但为全面性考虑）：
- 如果在爷爷奶奶去世后，遗产尚未分割前，孙子的父亲（或母亲）也去世，且父亲（或母亲）没有放弃继承爷爷奶奶的遗产，那么孙子可以通过转继承的方式，继承父亲（或母亲）应得的爷爷奶奶遗产份额。
综上所述，虽然孙子在一般情况下不直接享有继承爷爷奶奶遗产的权利，但在代位继承、遗嘱继承的特殊情况下，以及考虑到非婚生子女与婚生子女享有同等权利的法律原则，孙子（包括私生孙子）是可以依法获得爷爷奶奶的遗产的。
最后，我建议您在处理此类遗产继承问题时，咨询专业律师以获取更详细的法律意见和指导，以确保您的权益得到充分保障。