结论前置：私自开挖农村山上的石头是违法的，这一行为可能涉及非法采矿罪、破坏性采矿罪，还可能面临行政处罚和民事赔偿责任。以下是对相关法律问题的详细分析：
一、非法采矿罪
法律依据：
- 根据《中华人民共和国刑法》第三百四十三条第一款规定，未取得采矿许可证擅自采矿，或擅自进入国家规划矿区、对国民经济具有重要价值的矿区和他人矿区范围采矿，或擅自开采国家规定实行保护性开采的特定矿种，均属非法采矿行为。
情节判断与处罚：
- 情节严重：开采的矿产品价值或造成矿产资源破坏的价值在十万元至三十万元以上；或在特定区域（如国家规划矿区、禁采区）采矿，价值达到五万元至十五万元以上。此时，可处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金。
- 情节特别严重：数额达到上述标准五倍以上。此时，可处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
二、破坏性采矿罪
法律依据：
- 依据《中华人民共和国刑法》第三百四十三条第二款，采取破坏性的开采方法开采矿产资源，并造成矿产资源严重破坏的，构成破坏性采矿罪。
情节判断与处罚：
- 造成矿产资源严重破坏的标准：破坏价值在五十万至一百万元以上；或对特定矿种资源的破坏价值在二十五万至五十万元以上。此时，可处五年以下有期徒刑或者拘役，并处罚金。
三、行政处罚
- 根据《中华人民共和国矿产资源法》等相关法律法规，未取得采矿许可证擅自采矿的，除可能承担刑事责任外，还将面临责令停止开采、赔偿损失、没收采出的矿产品和违法所得、罚款等行政处罚。
四、民事赔偿责任
- 若私自开挖石头的行为导致他人人身伤害或财产损失，行为人还需承担相应的民事赔偿责任。例如，如果开挖行为导致山体滑坡，砸坏了村民的房屋或农作物，那么行为人就需要赔偿村民的损失。
五、特殊情形与建议
生态保护：
- 非法采矿不仅违法，还可能对生态环境造成严重破坏，如水土流失、山体滑坡等。因此，必须严厉打击非法采矿行为，保护生态环境。
依法申请与开采：
- 如果确实需要开采石头，必须依法申请并获得相应的采矿许可证。在申请过程中，需要提交详细的开采方案、环境影响评价报告等材料，确保开采行为符合法律法规和环保要求。
及时举报与维权：
- 公众发现私自开挖行为时，应及时向有关部门举报，以维护国家矿产资源和生态环境的安全。同时，如果自己的权益受到非法采矿行为的侵害，也可以依法向相关部门投诉或提起诉讼，维护自己的合法权益。
总结与建议：私自开挖农村山上的石头是违法的，可能涉及多重法律责任。因此，我强烈建议遵守相关法律法规，不得私自开挖石头。如果确实需要开采，必须依法申请并获得相应的许可。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。