当行政机关的过错给当事人造成损失时，当事人可以通过以下法律途径来维护自身合法权益：

1. 行政复议

   • 适用情况：若当事人认为行政机关的具体行政行为（如行政处罚、行政许可等）侵犯了其合法权益，且该行为存在错误，可以向作出该行政行为的机关的上一级主管部门或本级人民政府提出行政复议申请。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国行政复议法》第六条的规定，公民、法人或其他组织有权对侵犯其合法权益的具体行政行为申请行政复议。
   • 操作建议：在申请行政复议前，当事人应收集相关证据，明确复议请求，并按照法定程序向相关部门提交申请。

2. 行政诉讼

   • 适用情况：若行政机关的行政行为违法或不合理，且给当事人造成了实际损失，当事人有权依法向人民法院提起行政诉讼。
   • 法律依据：依据《中华人民共和国行政诉讼法》第二条，公民、法人或其他组织认为行政机关的行政行为侵犯其合法权益时，有权提起诉讼。
   • 操作建议：在提起行政诉讼前，当事人需确保已收集充分的证据，明确诉讼请求，并遵循法院的诉讼程序进行。

3. 国家赔偿

   • 适用情况：若行政机关及其工作人员在行使职权过程中，侵犯了当事人的人身权或财产权，且造成了实际损失，当事人有权申请国家赔偿。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国国家赔偿法》第四条，行政机关及其工作人员在行使行政职权时，有侵犯财产权等法定情形的，受害人有取得赔偿的权利。
   • 操作建议：当事人应先确认行政行为的违法性，然后收集损失证据，向赔偿义务机关提出赔偿请求。若赔偿义务机关拒绝或未在规定期限内作出决定，当事人可进一步向法院提起诉讼。

4. 信访或申诉

   • 适用情况：若当事人希望通过非诉讼方式解决问题，可以向相关部门进行信访或申诉。信访适用于反映情况、提出建议或投诉请求；申诉则适用于对已经发生法律效力的判决、裁定等认为确有错误的情况。
   • 法律依据：根据《信访条例》第二条，信访是公民、法人或其他组织向政府反映情况、提出建议或投诉请求的一种方式。
   • 操作建议：当事人可通过书信、电子邮件等形式向相关部门反映问题，或按照法定程序提出申诉请求，要求相关部门重新审查处理。

在寻求法律救济时，当事人还需注意以下几点：

• 法律依据与赔偿范围：除了上述提到的法律外，还有《中华人民共和国刑法》等法律也规定了政府机关工作人员滥用职权或玩忽职守的法律责任。赔偿范围通常包括因政府过错导致的直接经济损失，如财产损失、经营损失等。具体赔偿范围应根据实际情况和法律法规来确定。
• 实例分析与建议：实践中已有多起因政府过错导致损失并成功获得赔偿的案例。建议当事人加强监督意识，积极参与对政府行为的监督；同时，政府机关及其工作人员也应提高法律意识和服务意识，确保在行使职权时依法依规操作。

若当事人遇到行政机关过错导致的损失问题，应充分了解相关法律法规和程序要求，积极收集证据并寻求专业法律帮助以维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。