行政机关因自身错误造成其工作人员损失的，工作人员有权依法要求行政机关承担相应的法律责任，具体处理方式需根据损失类型和具体情况来确定。以下从不同角度进行分析：
一、行政机关内部救济途径
申诉与复核：
- 申诉：若行政机关工作人员认为行政机关的错误行为侵犯了其合法权益，如错误处分、错误扣减工资等，可以首先向行政机关内部的申诉受理机构提出申诉。根据《中华人民共和国公务员法》等相关规定，行政机关应当设立专门的机构或指定专人负责受理公务员的申诉，并在规定期限内作出处理决定。
- 复核：若工作人员对申诉处理决定不服，还可以在规定期限内向作出处理决定的行政机关的上一级机关提出复核申请。复核机关将在规定期限内作出复核决定，该决定为最终决定。
内部调解与协商：
- 在某些情况下，行政机关与工作人员之间可以通过内部调解或协商的方式解决争议。这种方式更加灵活，有助于快速解决问题，减少不必要的法律纠纷。
二、外部法律救济途径
行政诉讼：
- 若行政机关的错误行为对工作人员造成了实质性的损害，且内部救济途径无法解决问题，工作人员可以向人民法院提起行政诉讼。根据《中华人民共和国行政诉讼法》的规定，公民、法人或者其他组织认为行政机关和行政机关工作人员的行政行为侵犯其合法权益，有权依照本法向人民法院提起诉讼。在行政诉讼中，法院将依法审理案件，并作出公正判决。
国家赔偿：
- 若行政机关的错误行为构成违法行政行为，且给工作人员造成了损害，工作人员有权依法要求国家赔偿。根据《中华人民共和国国家赔偿法》的规定，行政机关及其工作人员在行使行政职权时有侵犯人身权或财产权的违法行为的，受害人有取得赔偿的权利。赔偿请求人可以向赔偿义务机关提出赔偿申请，也可以在申请行政复议或者提起行政诉讼时一并提出赔偿请求。
三、具体损失类型的处理
工资损失：
- 若行政机关错误扣减了工作人员的工资，工作人员可以要求行政机关补发工资，并可能要求支付相应的利息或赔偿金。若行政机关拒绝补发，工作人员可以通过内部申诉、复核或行政诉讼等途径维护自己的权益。
职务晋升损失：
- 若行政机关的错误行为导致工作人员失去了职务晋升的机会，这种损失可能难以直接量化。但工作人员可以主张行政机关的错误行为违反了公平、公正的原则，并要求行政机关采取补救措施，如重新考虑晋升决定或提供其他补偿。
名誉损害：
- 若行政机关的错误行为对工作人员的名誉造成了损害，工作人员可以要求行政机关公开道歉、消除影响，并可能要求支付精神损害赔偿金。在名誉损害的情况下，证据的收集和证明可能较为困难，因此工作人员需要积极收集相关证据，如媒体报道、社交媒体评论等，以支持自己的主张。
建议：在处理此类问题时，工作人员应首先尝试通过行政机关内部的申诉、复核等途径解决问题。若内部途径无法解决问题，再考虑通过行政诉讼或国家赔偿等外部法律救济途径维护自己的权益。同时，工作人员在处理过程中应注意收集相关证据，以支持自己的主张。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。