结论：家教在路上发生意外，雇主是否有责任，需根据具体情况来判断，主要看雇主是否存在过错以及该过错与意外之间的因果关系。以下从不同角度进行分析：

一、雇主无过错的情况

如果家教在路上发生的意外与雇主的行为没有直接关联，且雇主已经尽到了合理的安全保障义务，那么雇主通常不需要承担责任。例如：

• 家教在上下班途中自行选择不安全的交通方式（如闯红灯、不走人行道等），导致发生交通事故，且该事故与雇主无关。
• 家教在非工作时间、非工作地点因个人原因（如私自外出、从事与工作无关的活动等）发生意外。

在这种情况下，雇主没有过错，因此不需要对家教的意外承担责任。

二、雇主存在过错的情况

如果雇主在家教的工作安排、安全保障等方面存在过错，且该过错与家教发生的意外有直接因果关系，那么雇主可能需要承担相应的责任。例如：

1. 工作安排不当：

   • 雇主要求家教在恶劣天气（如暴雨、大雪等）或危险路段进行家教工作，且未提供必要的安全保障措施。
   • 雇主安排家教在非正常工作时间（如深夜）进行工作，且未确保家教的安全。

2. 安全保障义务未履行：

   • 雇主未提供安全的交通工具或未确保交通工具的安全性。
   • 雇主未对家教进行必要的安全教育或培训，导致家教在工作中缺乏安全意识。

3. 其他过错：

   • 雇主知道或应当知道家教存在不适合从事家教工作的身体状况或心理状况，但仍安排其工作。
   • 雇主对家教的工作环境或工作条件存在安全隐患，且未及时消除。

法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。如果雇主存在上述过错，且该过错与家教发生的意外有直接因果关系，那么雇主可能需要承担侵权责任，包括赔偿家教的医疗费、误工费、残疾赔偿金等损失。

三、特殊情况：雇佣关系与承揽关系的区分

有时候，家教与雇主之间的关系可能并非简单的雇佣关系，而是承揽关系。在承揽关系中，承揽人（家教）通常需要自行承担工作过程中的风险。但是，如果雇主在定作、指示或者选任方面存在过错，导致承揽人发生损害的，雇主也可能需要承担相应的赔偿责任。

建议：

• 如果家教在路上发生意外，建议首先收集相关证据，如事故现场照片、医疗记录、证人证言等，以证明事故的发生和雇主的过错。
• 然后，与雇主进行协商，尝试通过和解的方式解决纠纷。
• 如果协商无果，可以考虑通过法律途径解决，如向法院提起诉讼或申请仲裁。

在处理此类纠纷时，建议咨询专业律师（即我本人，杜浩瀚律师，专注于医疗纠纷、交通事故、劳动纠纷、刑事辩护、婚姻家庭、民间借贷、侵权纠纷等领域），以便更好地维护自己的合法权益。